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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller reellen 2x2 Matrizem. Ferner sei [mm] B:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 6 }
[/mm]
Die lineare Abbildung f: V --> V sei definiert durch f(A) = A* B
(i) Geben sie die zu f gehörige Matrix an bezüglich der Basis
B* [mm] :=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })
[/mm]
(ii) Bestimmen sie die dimension des kerns von f und des bildes von f
(iii) berechnen sie die koordinaten von f(B) bzgl. B* |
Hallo
Leider komm ich da gar nicht weiter.
Wir haben schon mal eine matrix vorbekommen und sollten dann die dim und die basis vom kern bestimmen aber wie ich durch eine basis auf eine matrix kommen soll... ich weiß da leider nicht weiter
könnte mir das vllt jemanden erklären ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Fr 01.01.2010 | | Autor: | nooschi |
zu (i)
allgemein bestimmt man die Matrix bzgl. einer Basis immer so:
deine Basis sei [mm] b_{1}, [/mm] ..., [mm] b_{n}
[/mm]
dann berechnest du [mm] f(b_{i}) [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
diese Ergebnisse musst du durch eine Linearkombination aus deiner Basis darstellen. die einzelnen Faktoren sind dann die i-ten Spalteneinträge in der Matrix.
also jetzt konkret zu deinem Beispiel:
[mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] 1\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+2\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+0\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+0\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 6 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] 3\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+6\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+0\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+0\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 2 } [/mm] = [mm] 0\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+0\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+1\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+2\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 6 } [/mm] = [mm] 0\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+0\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+3\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+6\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Lösung: [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 }
[/mm]
Bemerkung: damit du jetzt die Matrix auch für Berechnungen gebrauchen kannst, musst du deine Basisvektoren als die Einheitsvektoren anschauen, d.h. [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] etc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Hallo
Ich komm nicht ganzt drauf wie du die koordinaten des bildraumes hier berechnet hast .
> [mm]f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
Ich denk mir schon dass es mit f(A)= A * B mit B [mm] =\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 6 } [/mm] geht aber wie ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 02.01.2010 | | Autor: | nooschi |
ganz normale Matrixmultiplikation:
[mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }*\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 6 } [/mm] = [mm] \pmat{ (1*1+0*3) & (1*2+0*6) \\ (0*1+0*3) & (0*2+0*6) } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
etc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Ayame |
ah stimmt
ich hab das schema bei mir etwas durcheinander bekommen.Danke!
ich muss ja als nächstes die dimension des kerns und des bildes von f berechnen.
Da nehme ich doch die matrix und forme um.
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 3 \\ 0& 0& 0 &0 }
[/mm]
am Ende habe ich nur 2 zeilen die lin unabhängig sind also ist der Rang = 2 und die dimKern = 2. oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 02.01.2010 | | Autor: | nooschi |
erscheint mir richtig, ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ich hätt noch mal eine frage zur letzten aufgabe:
Berechne die koordinaten von f(B) bzgl B*
muss ich f(B) = B * B* ausrechnen oder so :
1300
2600
1300
2600
-----------------------
1236 | 5 15 15 45
Aber ich glaub so haben wir nur die kordinaten neu berechnet nach einem basis wechsel´.
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Das muss so aussehen, ich denke, jetzt ist es richtig:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 14 \\ 21 \\ 42}.[/mm]
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