Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 19.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo zusammen, ich habe schon wieder eine Problem. Ich kenne mich mit Matrizen aus, aber so eine Matrix habe ich noch nicht gesehen. 
Es sei
A= [mm] \pmat{ P & Q \\ R & S}
[/mm]
eine [mm] (m+n)\times(m+n) [/mm] Matrix mit Blöcken
[mm] P\in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] m) invertierbar,
[mm] S\in M(n\times [/mm] n) invertierbar,
[mm] Q,R^{t}\in M(m\times [/mm] n).
Jetz muss ich beweisen dass die MAtrix A genau dann invertierbar ist, wenn [mm] S-RP^{-1}Q [/mm] invertierbar ist.
Ich weiß dass Wenn eine Matrix H Invertierbar ist, dann gibt es eine Inverse Matrix zu H also. Und wenn ich die Multipliziere kommt ja Einheitsmatrix raus. Kann man das hier gebrauchen??
und wenn man die inverse mit
|
|
| |
|
Hallo!
> Es sei
>
> A= [mm]\pmat{ P & Q \\ R & S}[/mm]
> eine [mm](m+n)\times(m+n)[/mm] Matrix mit
> Blöcken
> [mm]P\in[/mm] M(m [mm]\times[/mm] m) invertierbar,
> [mm]S\in M(n\times[/mm] n) invertierbar,
> [mm]Q,R^{t}\in M(m\times[/mm] n).
>
> Jetz muss ich beweisen dass die MAtrix A genau dann
> invertierbar ist, wenn [mm]S-RP^{-1}Q[/mm] invertierbar ist.
> Ich weiß dass Wenn eine Matrix H Invertierbar ist, dann
> gibt es eine Inverse Matrix zu H also. Und wenn ich die
> Multipliziere kommt ja Einheitsmatrix raus. Kann man das
> hier gebrauchen??
> und wenn man die inverse mit
Also, ich habe es noch nicht ausprobiert, aber vielleicht geht es so:
Wenn dein A invertierbar ist, dann gibt es ja ein [mm] A^{-1} [/mm] sodass [mm] A*A^{-1}=E
[/mm]
Wenn du nun für A deine Matrix hinschreibst und dir einfach mal vorstellst, P,Q,R und S seien normale Zahlen, wie würdest du dann dein Inverses berechnen? Du würdest wohl ein Gleichungssystem aufstellen und dieses lösen.
Das sieht dann hier so aus (ich nenne die Teile der unbekannten inversen Matrix mal P', Q', R' und S' - in der gleichen Reihenfolge wie bei A):
PP'+QR'=E
RP'+SR'=0
PQ'+QS'=0
RQ'+SS'=E
Wenn man jetzt versucht, dieses Gleichungssystem zu lösen, kommt man vielleicht genau auf deine Bedingung. Aber wie gesagt, ich habe es noch nicht ausprobiert - nur das wäre das erste, was mir bei deiner Aufgabe einfällt. Veilleicht funktioniert es ja...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Do 19.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Es ist richtig, was Christiane sagt:
Aus dem Gleichungssystem
$PQ'+QS'=0$
$RQ'+SS'=E$
bekommt man zunächst:
$Q' [mm] =-P^{-1}(QS')$
[/mm]
und dann durch Einsetzen:
[mm] $-RP^{-1}QS'+SS'=E$,
[/mm]
also:
[mm] $(S-RP^{-1}Q)S'=E$.
[/mm]
Daraus folgt die Invertierbarkeit von [mm] $S-RP^{-1}Q$.
[/mm]
Für die Rückrichtung empfehle ich dir diese Diskussion (inklusive der Links zum Matheplaneten).
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:51 Sa 21.05.2005 | | Autor: | NECO |
Danke erstmal. Ok bis hierhin habe ich verstanden. Aber die Rückrichtung habe ich immer noch nicht gefunden. ich habe mir überlegt das zu benutzen
[mm] $(S-RP^{-1}Q)S'=E$.
[/mm]
Wenn [mm] $S-RP^{-1}Q$ [/mm] invertierbar ist. Dann müssen die anderen gleichungen also die erste und die zweite gleichung gelten. (Kann mann hier sagen dass die Inverse von [mm] $S-RP^{-1}Q$ [/mm] $S'$ ist??) Weil wir haben die letzten zwei ja vebraucht. Aber ich komme nicht weiter. Ich galeube es macht auch keine Sinn das hinzuschreiben. Jetzt brauche ich hilfe bitte: Die Rückrichtung ist immer schwer . Ich habe auch von anderem Forum die Rückrichtung nicht gefunden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 So 22.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo zusammen. Ich kann die Rückrichtung nicht so gut. Ich habe versucht
Die anderen zwei Gleichungen auch zu beweisen. es kalpt nich so gut. Kann jemand bitte helfen. Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 22.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Neco,
die Rückrichtung ist doch fast noch einfacher:
du musst zeigen, dass P', R',Q' und S' existieren, wobei du vorraussetzen darfst, dass P und S invertierbar sind.
Löse doch dann einfach mal das von Bastiane vorgeschlagene Gleichungssystem:
PP'+QR'=E (nach P')
RP'+SR'=0 (nach R')
PQ'+QS'=0 (nach Q')
RQ'+SS'=E (nach S')
wenn das klappt (und das tut es), kannst du von der Existenz der gesuchten Matrizen ausgehen
btw: müsste man nicht eigentlich noch zeigen, dass M'*M=E auch gilt, wobei M aus den ohne Strich und M' aus den mit Strich-Matrizen gebildet ist ?
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mo 23.05.2005 | | Autor: | NECO |
Aus dem Gleichungssystem
$PQ'+QS'=0$
$RQ'+SS'=E$
bekommt man zunächst:
$Q' [mm] =-P^{-1}(QS')$ [/mm]
und dann durch Einsetzen:
[mm] $-RP^{-1}QS'+SS'=E$, [/mm]
also:
[mm] $(S-RP^{-1}Q)S'=E$. [/mm]
Daraus folgt die Invertierbarkeit von [mm] $S-RP^{-1}Q$. [/mm]
Also Die Rückrichtung soll ich dann so wie DaMenge sagt:
die Rückrichtung ist doch fast noch einfacher:
du musst zeigen, dass P', R',Q' und S' existieren, wobei du vorraussetzen darfst, dass P und S invertierbar sind.
Löse doch dann einfach mal das von Bastiane vorgeschlagene Gleichungssystem:
$PP'+QR'=E (nach P')$
$RP'+SR'=0 (nach R') $
$PQ'+QS'=0 (nach Q')$
$RQ'+SS'=E (nach S') $
Also dann abe ich gelöst.
[mm] $P'=(E-QR')P^{-1}$
[/mm]
[mm] $R'=-S^{-1}RP'$
[/mm]
$Q' [mm] =-P^{-1}(QS')$
[/mm]
[mm] $S'=(E-RQ')S^{-1}$
[/mm]
Bin ich jetz fertig mit Rückrichtung? Wieso kann ich voraussetzen dass P und S invertierbar sind? Habe ich immer noch nicht verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 24.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
eine Frage: Wann ist bei euch eine Matrix M invertierbar? (nachschlagen!)
1)Wenn ein M' gibt, so dass $ M*M'=E $
2)Wenn ein M' gibt, so dass $ M*M'=E $ und $ M' *M=E $
wenn bei euch nur 1) gilt, wärest du mit beiden fertig, ja !
wenn aber 2) gilt, musst du jeweils noch die Matrizenmultiplikation umdrehen und analoges folgern, also
nicht nur:
> [mm](S-RP^{-1}Q)S'=E[/mm].
sondern auch: $ [mm] S'*(S-RP^{-1}Q)=E [/mm] $
> Also dann abe ich gelöst.
>
> [mm]P'=(E-QR')P^{-1}[/mm]
> [mm]R'=-S^{-1}RP'[/mm]
> [mm]Q' =-P^{-1}(QS')[/mm]
> [mm]S'=(E-RQ')S^{-1}[/mm]
zunächst mal : in Gleichung 1 und 4 musst du die Inverse von P bzw. S LINKS ranmultiplizieren !! (erst dann stimmt es)
> Bin ich jetz fertig mit Rückrichtung?
leider nein - sorry - ich hatte die ursprüngliche Aufgabe missverstanden.
Du musst es leider - wie Stefan schon sagte - genauso wie im anderen Thread machen: ich nenne deine gegebene Matrix um $ [mm] T=S-RP^{-1}Q [/mm] $
sei T invertierbar , dann gibt es S', so dass
$ [mm] T*S'=-RP^{-1}QS' [/mm] +S*S' =E $
setze $ [mm] Q'=-P^{-1}QS' [/mm] $ , dann erhälst du schonmal:
PQ'+QS'=0 und RQ'+SS'=E
für PP'+QR'=E und RP'+SR'=0 mache:
setze $ [mm] R'=-T^{-1}*R*P^{-1} [/mm] $ und $ [mm] P'=P^{-1}(E-QR') [/mm] $
=> $ [mm] RP^{-1} [/mm] +TR'=0 $ nun setze T ein und forme um bis du die beiden Gleichungen erhälst.
orientiere dich dabei am anderem Thread.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 Fr 27.05.2005 | | Autor: | NECO |
> Also dann abe ich gelöst.
>
> [mm]P'=(E-QR')P^{-1}[/mm]
> [mm]R'=-S^{-1}RP'[/mm]
> [mm]Q' =-P^{-1}(QS')[/mm]
> [mm]S'=(E-RQ')S^{-1}[/mm]
zunächst mal : in Gleichung 1 und 4 musst du die Inverse von P bzw. S LINKS ranmultiplizieren !! (erst dann stimmt es)
> Bin ich jetz fertig mit Rückrichtung?
leider nein - sorry - ich hatte die ursprüngliche Aufgabe missverstanden.
Du musst es leider - wie Stefan schon sagte - genauso wie im anderen Thread machen: ich nenne deine gegebene Matrix um $ [mm] T=S-RP^{-1}Q [/mm] $
sei T invertierbar , dann gibt es S', so dass
$ [mm] T*S'=-RP^{-1}QS' [/mm] +S*S' =E $
setze $ [mm] Q'=-P^{-1}QS' [/mm] $ , dann erhälst du schonmal:
PQ'+QS'=0 und RQ'+SS'=E
für PP'+QR'=E und RP'+SR'=0 mache:
setze $ [mm] R'=-T^{-1}*R*P^{-1} [/mm] $
wieso kann man das so schreiben, ich hatte ja [mm]R'=-S^{-1}RP'[/mm]
und $ [mm] P'=P^{-1}(E-QR') [/mm] $
=> $ [mm] RP^{-1} [/mm] +TR'=0 $ nun setze T ein und forme um bis du die beiden Gleichungen erhälst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 27.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Neco,
wenn du auf den Button "zitieren" klickst, dann erscheint der Text, auf den du dich beziehst mit den netten ">" Zeichen davor - das ist eine prima Abgrenzung zu dem, was du sagen willst und macht es einfacher zu lesen.
(sieht dann so aus:)
> setze [mm]R'=-T^{-1}*R*P^{-1}[/mm]
>
> wieso kann man das so schreiben, ich hatte ja [mm]R'=-S^{-1}RP'[/mm]
Genau so ungefähr war mein Denkfehler am Anfang, in der Rückrichtung ist nicht einfach zu zeigen, dass A invertierbar ist, sondern dass aus "T invertierbar" auch "A invertierbar" folgt.
Jetzt könntest du natürlich fragen, warum wir dann bei Q' ausnutzen, dass P invertierbar ist, aber das folgt direkt aus T (denn da steht die Inverse von P mit drinne).
Es geht halt darum die Inverse wirklich mit T bzw. dessen Inversen darzustellen, deshalb musst du den Weg gehen.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Fr 27.05.2005 | | Autor: | NECO |
Dankeschön.
|
|
|
|
