Matrix + lineare Abbildung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
ich leite euch mal auf eine andere Seite, denn ich hab ehrlich gesagt keine Lust das alles nochmal aufzuschreiben:
es sind 3 Teilaufgaben (nach und nach gepostet)
a) ist gelöst,
b) hoffe ich das es richtig ist - glaube aber nicht recht dran - gebt mir bitte dazu n feedback
c) da habe ich ne Verständnisfrage
wäre nett wenn ihr mir da weiterhelfen könntet - im anderen Forum bekomme ich kein feedback mehr
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=68489
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> ich leite euch mal auf eine andere Seite, denn ich hab
> ehrlich gesagt keine Lust das alles nochmal
> aufzuschreiben:
> es sind 3 Teilaufgaben (nach und nach gepostet)
> a) ist gelöst,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) hoffe ich das es richtig ist - glaube aber nicht recht
Es ist fast richtig, denn woher kommen in Deiner Rechnung die Minuszeichen?
Und was noch nicht so ganz stimmt ist die Verdeutlichung der Dimension der Matrix.
Dein Spaltenindex endet z.B. bei j - was ist j?
Dort müsste n stehen, da die Abbildung von [mm] $k^n\to\ldots$ [/mm] geht.
Das gleiche beim Zeilenindex: Der letzte ist m und nicht i.
i und j schreibt man häufig bei diesen allgemeinen Schreibweisen für irgendeine Zeile/Spalte, die zwischen 1 und m/n liegt.
> dran - gebt mir bitte dazu n feedback
> c) da habe ich ne Verständnisfrage
[mm] $L_A\circ L_B(u)$ [/mm] ist die Hintereinanderausführung von Abbildungen: Erst wird [mm] $L_B$ [/mm] auf den Vektor $u$ angewendet, dann [mm] $L_A$ [/mm] auf das Ergebnis:
Damit das Produkt funktioniert, müsste A und B folgende Dimensionen haben:
[mm] $L_A: k^n\to k^m$ [/mm] also ist A eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix
[mm] $L_B: k^l\to k^n$ [/mm] also ist B eine [mm] $n\times [/mm] l$-Matrix
[mm] $u\in k^l$
[/mm]
[mm]v:=L_B(u)=\vektor{b_{11}*u_1+\ldots+b_{1l}*u_l\\
\vdots \\
b_{n1}*u_1+\ldots+b_{nl}*u_l}\in k^n[/mm]
Dieser Vektor wird nun von [mm] $L_A$ [/mm] abgebildet:
[mm] $L_A(v)=\ldots$
[/mm]
Dies sollte das gleiche Ergebnis liefern wie
[mm] $L_{AB}(u)$ [/mm] (also erst das Matrixprodukt AB berechnen und dann u abbilden)
Hier bietet sich vielleicht die Summenschreibweise des Matrixproduktes an, schau' mal in Deine Vorlesung.
> wäre nett wenn ihr mir da weiterhelfen könntet - im anderen
> Forum bekomme ich kein feedback mehr
Ich denke schon, der letzte Artikel dort war doch erst von gestern
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
danke - eine Antwort!
ich bin dir bis ans lebensende dankbar 
> Es ist fast richtig, denn woher kommen in Deiner Rechnung
> die Minuszeichen?
das war'n allgemeiner denkfehler von mir:
es müsste jetzt also geändert werden:
für alle i=m, j=n und die "-" in der Abbildung werden in "+" umgewandelt
> Und was noch nicht so ganz stimmt ist die Verdeutlichung
> der Dimension der Matrix.
ich weiß nicht was du damit meinst (der Bezug)
das zu c) gucke ich mir erst nochmal an, poste es dann hier.
nochmals danke für deine Antwort
|
|
|
| |
|
ich hab eine fragn zu deiner bezeichnung
>
> [mm]L_A: k^n\to k^m[/mm] also ist A eine [mm]n\times m[/mm]-Matrix
> [mm]L_B: k^l\to k^n[/mm]
> also ist B eine [mm]k\times n[/mm]-Matrix
ist B nicht eine lxn Matrix? (oder txn - je nachdem was das für ein buchstabe ist)
ich schreib für a=b (da das die B Matrize ist)
A = [mm] \pmat{a_{11} & ... & a_{1m} \\ . & . & . \\ a_{n1} & ... & a_{nm} }
[/mm]
[mm] A*L_{B} [/mm] = [mm] \pmat{a_{11}*(b_{11}u_{1} + ... + b_{1n}u_{n}) + ... + a_{1m}*(b_{l1}u_{1} + ... + b_{ln}u_{n}) \\ a_{n1}*(b_{11}u_{1} + ... + b_{1n}u_{n}) + ... + a_{nm}*(b_{l1}u_{1} + ... + b_{ln}u_{n})}
[/mm]
ich poste erst mal das denn bei der [mm] L_{AB} [/mm] kommt glaub ich was anderes raus, bin noch am tüfteln.
zeigt mir doch bitte schonmal die Fehler in der Matrix
ich geh mal lieber schrittweise vor:
AB = [mm] \pmat{ a_{11}b_{11} + ... + a_{1m}b_{l1} & a_{11}b_{1n} + ... + a_{1m}b_{ln} \\ .. & .. \\ a_{n1}b_{11} + ... + a_{nm}b_{l1} & a_{n1}b_{1n} + ... + a_{nm}b_{ln}} [/mm] = [mm] \summe_{m=1}^{n}a_{nm}b_{ln}
[/mm]
ABu = [mm] \pmat{ u_{1}(a_{11}b_{11} + ... + a_{1m}b_{l1}) + u_{n}(a_{11}b_{1n} + ... + a_{1m}b_{ln}) \\ u_{1}(a_{n1}b_{11} + ... + a_{nm}b_{l1}) + u_{n}(a_{n1}b_{1n} + ... + a_{nm}b_{ln})} [/mm]
und das ist nicht das gleiche, also habe ich irgendwo mist gebaut
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> ich hab eine fragn zu deiner bezeichnung
> >
> > [mm]L_A: k^n\to k^m[/mm] also ist A eine [mm]n\times m[/mm]-Matrix
> > [mm]L_B: k^l\to k^n[/mm]
> > also ist B eine [mm]k\times n[/mm]-Matrix
>
> ist B nicht eine lxn Matrix? (oder txn - je nachdem was das
> für ein buchstabe ist)
Ja, stimmt, da hatte ich mich vertippt (und es mittlerweile in meinem Beitrag verbessert). B ist eine [mm] $n\times [/mm] l$-Matrix. Übrigens hatte ich in meinem ursprünglichen Beitrag noch mehr Indices durcheinandergeworfen, bitte schaue Dir meine Korrektur noch mal an.
Richtig ist nun:
[mm] $L_A: k^n\to k^m$ [/mm] also ist A eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix (A hat m Zeilen und n Spalten)
[mm] $L_B: k^l\to k^n$ [/mm] also ist B eine [mm] $n\times [/mm] l$-Matrix (B hat n Zeilen und l Spalten)
> ich schreib für a=b (da das die B Matrize ist)
>
> A = [mm]\pmat{a_{11} & ... & a_{1m} \\ . & . & . \\ a_{n1} & ... & a_{nm} }[/mm]
>
>
> [mm]A*L_{B}[/mm] = [mm]\pmat{a_{11}*(b_{11}u_{1} + ... + b_{1n}u_{n}) + ... + a_{1m}*(b_{l1}u_{1} + ... + b_{ln}u_{n}) \\ a_{n1}*(b_{11}u_{1} + ... + b_{1n}u_{n}) + ... + a_{nm}*(b_{l1}u_{1} + ... + b_{ln}u_{n})}[/mm]
>
> ich poste erst mal das denn bei der [mm]L_{AB}[/mm] kommt glaub ich
> was anderes raus, bin noch am tüfteln.
> zeigt mir doch bitte schonmal die Fehler in der Matrix
Überprüfe einfach nochmal die Dimensionen der Matrizen A und B, da hast Du glaube ich einfach nur meine Fehler übernommen. Die Rechnungen an sich sind richtig.
> ich geh mal lieber schrittweise vor:
>
> AB = [mm]\pmat{ a_{11}b_{11} + ... + a_{1m}b_{l1} & a_{11}b_{1n} + ... + a_{1m}b_{ln} \\ .. & .. \\ a_{n1}b_{11} + ... + a_{nm}b_{l1} & a_{n1}b_{1n} + ... + a_{nm}b_{ln}}[/mm]
Bis auf die Dimensionen stimmt das.
> = [mm]\summe_{m=1}^{n}a_{nm}b_{ln}[/mm]
Das kann man so nicht schreiben, das wäre ja eine einzelne Zahl (und kein Vektor).
> ABu = [mm]\pmat{ u_{1}(a_{11}b_{11} + ... + a_{1m}b_{l1}) + u_{n}(a_{11}b_{1n} + ... + a_{1m}b_{ln}) \\ u_{1}(a_{n1}b_{11} + ... + a_{nm}b_{l1}) + u_{n}(a_{n1}b_{1n} + ... + a_{nm}b_{ln})}[/mm]
>
> und das ist nicht das gleiche, also habe ich irgendwo mist
> gebaut
Nein, das sieht gut aus, wenn Du die Dimensionen verbesserst.
Entschuldige die Verwirrung, die ich mit meinem Beitrag gestiftet habe ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
danke für die Blumen.
ich dachte ich hätte, habe nun aber doch nicht das mit dem dimensionen gerafft (du musst verstehen ich bin noch tiefer als das unterste Mathe-Intelligenzlevel). kannst du mir das nochmal idiotensicher erklären?
vor allem was die dimension und die ergebnismatrix betrifft - wie sieht das mit anderer dim aus? worry, aber ich raff das nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo celeste16,
> danke für die Blumen.
>
> ich dachte ich hätte, habe nun aber doch nicht das mit dem
> dimensionen gerafft (du musst verstehen ich bin noch tiefer
> als das unterste Mathe-Intelligenzlevel). kannst du mir das
> nochmal idiotensicher erklären?
>
> vor allem was die dimension und die ergebnismatrix betrifft
> - wie sieht das mit anderer dim aus? worry, aber ich raff
> das nicht
Okay, ich versuch's mal allgemein.
Die Matrix [mm] $A\in M(m\times [/mm] n; k)$ hat m Zeilen und n Spalten.
Sie kann (von rechts) nur mit einem Vektor v multipliziert werden, der n Zeilen hat, also [mm] $v\in k^n$.
[/mm]
Der "Ergebnisvektor" Av hat dann m Zeilen, also [mm] $Av\in k^m$.
[/mm]
Die induzierte Abbildung [mm] $L_A$ [/mm] hat dann natürlich die gleichen Vektorräume als Quell- und Zielraum: [mm] $L_A: k^n\to k^m$
[/mm]
Soll an A von rechts (nicht ein Vektor, sondern) eine Matrix B multipliziert werden, so muss diese ebenfalls n Zeilen haben. Die Spaltenzahl l von B ist egal, nur die Zeilenzahl muss mit der Spaltenzahl von A übereinstimmen: [mm] $B\in M(n\times [/mm] l; k)$
Die Ergebnismatrix AB hat nun die Zeilenzahl von A und die Spaltenzahl von l:
[mm]\begin{array}{ccccc}
A & * & B & = & C \\
M(m\times n; k) & * & M(n\times l; k) &= &M(m\times l; k)\end{array}[/mm]
Die Schreibweise mit Einträgen würde dann so aussehen:
[mm]\pmat{a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn}}*\pmat{b_{11} & \ldots & b_{1l}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & \ldots & b_{nl}}=\pmat{(a_{11}*b_{11}+\ldots+a_{1n}*b_{n1}) & \ldots & (a_{11}*b_{1l}+\ldots+a_{1n}*b_{nl}) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
(a_{m1}*b_{11}+\ldots+a_{mn}*b_{n1}) & \ldots & (a_{m1}*b_{1l}+\ldots+a_{mn}*b_{nl})}[/mm]
Ich hoffe, es ist nun etwas klarer geworden... 
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
