Matrix A nicht invertierbar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Di 15.07.2008 | | Autor: | Mephi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche reelle Zahl x die Matrix
A= [mm] \pmat{1&2&4&6\\1&1&3&0\\2&5&0&3\\1&3&0& x+5}
[/mm]
nicht invertierbar ist. |
Ok, eine Matrix muss quadratisch und regulär sein damit man sie invertieren kann. Also muss ich x so wählen das die letzte Zeile bei der Bildung der Dreiecksmatrix genau ein Vielfaches der vorletzten Zeile ist. Damit wäre dann bei der Bildung der Dreiecksmatrix die letzte Zeile eine Nullzeile und die Matrix damit nicht mehr regulär.
Soweit so gut, ist alles kein Problem. Nur komm ich ja bei jedem neuen Rechenweg, also abhängig davon was ich als Pivotelement wähle, auf ein anderes Ergebnis, da die Dreiecksmatrix ja nicht eindeutig ist.
Meine Frage ist jetzt also, reicht das wenn ich ein mögliches X angebe oder muss ich alle Möglichkeiten durchrechnen und eine Lösungsmenge aufstellen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. Es handelt sich um eine Übungsaufgabe.
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Hey!
> Untersuchen Sie, für welche reelle Zahl x die Matrix
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> A= [mm]\pmat{1&2&4&6\\1&1&3&0\\2&5&0&3\\1&3&0& x+5}[/mm]
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> nicht invertierbar ist.
> Ok, eine Matrix muss quadratisch und regulär sein damit
> man sie invertieren kann. Also muss ich x so wählen das die
> letzte Zeile bei der Bildung der Dreiecksmatrix genau ein
> Vielfaches der vorletzten Zeile ist. Damit wäre dann bei
> der Bildung der Dreiecksmatrix die letzte Zeile eine
> Nullzeile und die Matrix damit nicht mehr regulär.
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> Soweit so gut, ist alles kein Problem. Nur komm ich ja bei
> jedem neuen Rechenweg, also abhängig davon was ich als
> Pivotelement wähle, auf ein anderes Ergebnis, da die
> Dreiecksmatrix ja nicht eindeutig ist.
Insgesamt solltest du allerdings auf endlich viele Möglichkeiten für x kommen 
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> Meine Frage ist jetzt also, reicht das wenn ich ein
> mögliches X angebe oder muss ich alle Möglichkeiten
> durchrechnen und eine Lösungsmenge aufstellen?
Nein, du musst alle x angeben, für die die Matrix nicht invertierbar ist.
So damit du aber nicht den ganzen Tag rechnen musst, versuche doch mal folgenden Ansatz: A ist nicht invertierbar [mm] \gdw [/mm] det A = 0.
Die Determinante kann man hier recht leicht errechnen, indem man nach der 3. Spalte entwickelt.
Gruß Patrick
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. Es
> handelt sich um eine Übungsaufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 15.07.2008 | | Autor: | Mephi |
Das ging aber fix, danke für die Antwort. =)
Wenn ich die Matrix nach der dritten Spalte entwickel komm ich auf:
det(A)
= 4 [mm] \pmat{1&1&0\\2&5&3\\1&3&x+5} [/mm] - 3 [mm] \pmat{1&2&6\\2&5&3\\1&2&x+5}
[/mm]
= 4 ( 2x+9 ) - 3 ( x+8 )
= 5x + 12
D.h für [mm] x=\bruch{12}{5} [/mm] ist det(A) = 0 und die Matrix damit nicht invertierbar. Aber das ist ja wieder nur ein Ergebnis und natürlich noch ein ein neues. ^^
Oder hab ich das fehlinterpretiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Di 15.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Mephi,
und ich habe noch ein neues Ergebnis, denn det(A)=9x+12
Also ist die Matrix für [mm] x=\red{-}\bruch{12}{9} [/mm] nicht invertierbar.
Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Mephi, Smarty,
Ich habs auch nachgerchnet: Smarty hat richtig gerechnet.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Di 15.07.2008 | | Autor: | Mephi |
Hmpf! Stimmt, scheis Schussligkeit. ^^ Danke für eure Hilfe. =)
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