Matrix/Abbildung/Projektor < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute!
Ich hätte mal eine Frage, und zwar:
Wann ist eine lineare Abbildung eine Projektion?
Ich kenne einfache Abbildungen, die jeden Vektor aus [mm] R^3 [/mm] beispielsweise in die (x,y)-Ebene "projizieren", würde aber gerne mal wissen, ob es eine Defintion einer Projektion gibt
a la
M ist Projektor <=> ...dies und das...
Habe schon herausgefunden, dass die Matrix dann idempotent ist und dass so eine Matrix die EWs 0 und 1 hat, aber eben keine präzise definition.
Wäre echt nett!
Danke
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Hallo Jewgenij,
Ein $A$-Endomorphismus $P$ eines Moduls $V$ über dem Ring $A$ heißt eine Projektion von $V$, wenn [mm] $P^2 [/mm] = P$.
Damit sind die Projektionen genau die idempotenten Elemente des Endomorphismenringes [mm] $End_A(V)$.
[/mm]
Beispielsweise kann $V$ ein Vektorraum über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] sein. Das heißt also beispielsweise für $V = [mm] \mathbb{R}^3$, [/mm] dass genau die idempotenten [mm] $3\times [/mm] 3$ Matrizen mit Einträgen in [mm] $\IR$ [/mm] (aufgefasst als R-lineare Abbildungen von [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}^3$) [/mm] Projektionen sind.
Gruß mathfunnel
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