Matrix Abildung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 06.04.2010 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | seien [mm] x1=\vektor{1 \\ 0\\1}
[/mm]
seien [mm] x2=\vektor{2 \\ 2\\0}
[/mm]
seien [mm] x3=\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
i)Zeigen Sie ds{x1,x2,x3} eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
ii)Bestimmen Sie die lineare Abbildung für A, für die
[mm] A(x1)\vektor{3 \\ 1\\4},A(x2)\vektor{4 \\ 4\\2} [/mm] und [mm] A(x3)\vektor{4 \\ 3\\4} [/mm] gilt.
iii) Berechnen Sie für [mm] x4=\vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] und [mm] x5=\vektor{4 \\ 3\\2} [/mm]
[mm] A(x_4 [/mm] und [mm] A(x_5) [/mm] |
hi, hab schon wieder probleme
i) ist glaub ich klar. Ich bilde die Determinante und zeige ob die Matrix linear unabhängig ist oder nicht.
ii) ist nicht so klar.
Mein Ansatz wäre folgender,
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2&1\\ 1&0&1 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 4&3\\ 4&2&4 }
[/mm]
V=B*A^-1
V wäre dann die Abbildung.
zu iii) ich weiß nicht was hier gewollt ist. ein Denkanstoss wäre super
greetz
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> seien [mm]x1=\vektor{1 \\ 0\\1}[/mm]
> seien [mm]x2=\vektor{2 \\ 2\\0}[/mm]
>
> seien [mm]x3=\vektor{1 \\ 1\\0}[/mm]
> i)Zeigen Sie ds{x1,x2,x3} eine
> Basis von [mm]\IR^3[/mm] bilden.
> ii)Bestimmen Sie die lineare Abbildung für A, für die
>
> [mm]A(x1)\vektor{3 \\ 1\\4},A(x2)\vektor{4 \\ 4\\2}[/mm] und
> [mm]A(x3)\vektor{4 \\ 3\\4}[/mm] gilt.
> iii) Berechnen Sie für [mm]x4=\vektor{0 \\ 1\\0}[/mm] und
> [mm]x5=\vektor{4 \\ 3\\2}[/mm]
> [mm]A(x_4[/mm] und [mm]A(x_5)[/mm]
> hi, hab schon wieder probleme
>
> i) ist glaub ich klar. Ich bilde die Determinante und zeige
> ob die Matrix linear unabhängig ist oder nicht.
> ii) ist nicht so klar.
>
> Mein Ansatz wäre folgender,
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2&1\\ 1&0&1 }[/mm]
> [mm]B=\pmat{ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 4&3\\ 4&2&4 }[/mm]
>
> V=B*A^-1
>
> V wäre dann die Abbildung.
Irgendwie nicht...
[mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] bilden eine Basis. Also kannst Du jeden Vektor [mm] x\in \IR^3 [/mm] eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
Aufgrund der geforderten Linearität ist damit klar, wie die Abbildung A abbildet:
$A(x)= [mm] A(\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3)=$ [/mm] ???
> zu iii) ich weiß nicht was hier gewollt ist. ein
> Denkanstoss wäre super
Du kannst [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] ebenfalls als Linearkombination Deiner Basisvektoren schreiben und Dir so die Funktionswerte erobern.
Gruß v. Angela
>
> greetz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 06.04.2010 | | Autor: | blackylk |
Was meinst du damit
""$ [mm] A(\lambda_1x-1+\lambdax_2+\lambda_3x_3)= [/mm] $""
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Di 06.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackylk!
Das sollte heißen:
$$A(x)= [mm] A(\lambda_1*x_1+\lambda_2*x_2+\lambda_3*x_3) [/mm] \ = \ ...$$
Da hat sich Angela lediglich etwas vertippt (ist aber nunmehr auch oben korrigiert).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 06.04.2010 | | Autor: | blackylk |
Dann ist $ A(x)= [mm] A(\lambda_1\cdot{}x_1+\lambda_2\cdot{}x_2+\lambda_3\cdot{}x_3) [/mm] \ = \ $ B?
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> Dann ist [mm]A(x)= A(\lambda_1\cdot{}x_1+\lambda_2\cdot{}x_2+\lambda_3\cdot{}x_3) \ = \[/mm] B?
Hallo,
weiß der Geiuer, was Du mit dem Buchstaben B meinst...
A ist doch eine lineare Abbildung, welche aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] abbildet.
Wenn Du also A(x) berechnest, kommt da ein Vektor raus, und welcher das ist, bekommst Du leicht mit der Linearitätsbedingung.
Du kannst ja erstmal, wenn Dir die [mm] \lambda_i [/mm] Probleme machen, [mm] A(1*x_1+2*x_2+3*x_3) [/mm] ausrechnen.
Oder suchst Du die Matrix M, mit der Du die Abbildung A darstellen kannst?
Dann müßtest Du Dich zunächst entscheiden, bzgl welcher Basis Du die darstellende Matrix möchtest.
Oh! Jetzt geht mir ein Lichtlein auf:
was Du eingangs schriebst, war nahezu richtig!
Das V, welches Du ausgerechnet hast, ist die darstellende Matrix der Abbildung A bzgl der Standardbasis,
und wenn du [mm] A(x_4) [/mm] ausrechnen möchtest, dann ist das [mm] =V*x_4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Di 06.04.2010 | | Autor: | blackylk |
Ja diese ganzen mathematischen Schreibweisen bereiten mir Kopfzerbrechen. ^^.
Sie haben mir das leben gerettet. Bei mir stellt sich so kurz vor der Prüfung ein Tunnelblick ein. Meine Mitschriften sind unvollständig. Ständig verrechne ich mich. Ich geh jetzt am besten schlafen. Gute Nacht und Danke nochmals.
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