Matrix , Allg. Lineare Gruppe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Di 15.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Für a,b [mm] \in \IR [/mm] definieren wir die Matrix [mm] M(a,b)\in M_{2}(\IR) [/mm] durch [mm] M(a,b)=\pmat{ a & b \\ -b & a }.
[/mm]
a) Zeige, dass gilt: [mm] M(a,b)\in GL_{2}(\IR) \gdw a^2+b^2 \not= [/mm] 0. |
Habe ich richtig verstanden, dass ich hier zeigen muss:
1) M(a,b) invertierbar [mm] \Rightarrow a^2+b^2\not=0
[/mm]
Also es gibt [mm] M^{-1}, [/mm] so dass [mm] M\cdot M^{-1}=E, [/mm] dann muss [mm] a^2+b^2\not=0 [/mm] sein.
Dazu würde ich dann zuerst versuchen [mm] M^{-1} [/mm] allgemein zu bestimmen und dann schauen, was sich daraus dann für [mm] a^2+b^2 [/mm] ergibt. Soweit richtig?
2) [mm] a^2+b^2\not=0 \Rightarrow [/mm] M(a,b) invertierbar
Hierzu habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Di 15.06.2010 | | Autor: | Lippel |
> Für a,b [mm]\in \IR[/mm] definieren wir die Matrix [mm]M(a,b)\in M_{2}(\IR)[/mm]
> durch [mm]M(a,b)=\pmat{ a & b \\ -b & a }.[/mm]
>
> a) Zeige, dass gilt: [mm]M(a,b)\in GL_{2}(\IR) \gdw a^2+b^2 \not=[/mm]
> 0.
> Habe ich richtig verstanden, dass ich hier zeigen muss:
>
> 1) M(a,b) invertierbar [mm]\Rightarrow a^2+b^2\not=0[/mm]
>
> Also es gibt [mm]M^{-1},[/mm] so dass [mm]M\cdot M^{-1}=E,[/mm] dann muss
> [mm]a^2+b^2\not=0[/mm] sein.
> Dazu würde ich dann zuerst versuchen [mm]M^{-1}[/mm] allgemein zu
> bestimmen und dann schauen, was sich daraus dann für
> [mm]a^2+b^2[/mm] ergibt. Soweit richtig?
Absolut richtig, aus der Rechnung ergibt sich sofort, dass eine Inverse genau dann existiert, wenn [mm] $a^2+b^2\not=0$ [/mm] gilt. Damit hast du dann schon im Grunde beide Richtungen gezeigt.
Es gibt allerdings noch ein handlicheres Kriterium, bei dem du dich der Determinante der Matrix bedienst, um eine Aussage über die Invertierbarkeit zu treffen. Eine Matrix ist nämlich genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht null ist.
Das würde den Beweis hier noch deutlich einfacher gestalten.
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> 2) [mm]a^2+b^2\not=0 \Rightarrow[/mm] M(a,b) invertierbar
>
> Hierzu habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Habs jetzt so gelöst, dass ich [mm] M^{-1} [/mm] ausgerechent habe und dann folgenden kurzen Text dazu:
Somit hat [mm] M^{-1} [/mm] allgemein die Form [mm] \pmat{ \bruch{a}{a^2+b^2} & -\bruch{b}{a^2+b^2} \\ \bruch{b}{a^2+b^2} & \bruch{a}{a^2+b^2} }.
[/mm]
[mm] M^{-1} [/mm] ist genau dann wohldefiniert, wenn [mm] a^2+b^2\not=0. [/mm] Somit gilt auch [mm] M(a,b)\in GL_{2}(\IR) \gdw a^2+b^2 \not=0
[/mm]
Kann man das so schreiben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
zur zweiten Aufgabe: (wollte noch eine zweite Teilaufgabe hinzufügen. hat wohl nicht geklappt, versuchs gerade nochmal)
Ich weiss, was injektiv bedeutet.
Den Gruppenhomom. würde ich zeigen durch:
[mm] c_{1},c_{2} \in \IC
[/mm]
[mm] f(c_{1}\cdot c_{2}) [/mm] = [mm] f(c_{1})\cdot f(c_{2})
[/mm]
Ist der Ansatz soweit richtig? Könnt ihr mir schonmal einen Tip zur Injektivität geben? Da habe ich noch Probleme den Ansatz zu finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht habe ich heute morgen Tomaten auf den Augen, aber ich sehe keine 2. Aufgabe ...... ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:26 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Sorry, habs irgendwie nicht hingekriegt, die Aufgabe richtig hinzuzufügen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Abbildung [mm] \IC^{\times} \to GL_{2}(\IR), [/mm] a+ib [mm] \mapsto \pmat{ a & b \\ -b & a} [/mm] ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. |
Ich weiss, was injektiv bedeutet.
Den Gruppenhomom. würde ich zeigen durch:
$ [mm] c_{1},c_{2} \in \IC [/mm] $
$ [mm] f(c_{1}\cdot c_{2}) [/mm] $ = $ [mm] f(c_{1})\cdot f(c_{2}) [/mm] $
Ist der Ansatz soweit richtig? Könnt ihr mir schonmal einen Tip zur Injektivität geben? Da habe ich noch Probleme den Ansatz zu finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass die Abbildung [mm]\IC^{\times} \to GL_{2}(\IR),[/mm]
> a+ib [mm]\mapsto \pmat{ a & b \\ -b & a}[/mm] ein injektiver
> Gruppenhomomorphismus ist.
> Ich weiss, was injektiv bedeutet.
> Den Gruppenhomom. würde ich zeigen durch:
>
> [mm]c_{1},c_{2} \in \IC[/mm]
>
> [mm]f(c_{1}\cdot c_{2})[/mm] = [mm]f(c_{1})\cdot f(c_{2})[/mm]
>
> Ist der Ansatz soweit richtig?
Ja
> Könnt ihr mir schonmal
> einen Tip zur Injektivität geben? Da habe ich noch
> Probleme den Ansatz zu finden.
Zeige: aus $f(a+ib)= f(a'+ib')$ folgt $a+ib=a'+ib'$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 16.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Zur Injektivität habe ich folgendes:
zu zeigen: f(a+ib)= f(a'+ib') [mm] \Rightarrow [/mm] a+ib=a'+ib'
f(a+ib)=f(a'+ib') [mm] \Rightarrow \pmat{ a & b \\ -b & a }=\pmat{ a' & b' \\ -b' & a' } \gdw \pmat{ a & b \\ -b & a }-\pmat{ a' & b' \\ -b' & a' }=0 \gdw \pmat{ a-a' & b-b' \\ -b+b' & a-a' }=0 \Rightarrow [/mm] a=a' und b=b' [mm] \Rightarrow [/mm] a+ib=a'+ib'
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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