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| Aufgabe | Aufgabe 3
a) Betrachten Sie die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]
in Mat(2, [mm] \IR [/mm] ).
Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie eine Basiswechselmatrix S [mm] \in [/mm] GL(2, [mm] \IR [/mm] ), so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalgestalt hat.
b) Die Folge der Fibonacci-Zahlen [mm] c_{1}, c_{2}, [/mm] ... [mm] \in \IN [/mm] ist definiert durch [mm] c_{1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] = 1 und [mm] c_{n+2} [/mm] = [mm] c_{n+1} [/mm] + [mm] c_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Benutzen Sie Teil a), um einen geschlossenen Ausdruck für [mm] c_{n} [/mm] anzugeben, der nur von n abhängt.
Hinweis: Für Matrix A aus teil a) gilt: A * [mm] \vektor{c_{n+1} \\ c_{n}} [/mm] = [mm] \vektor{c_{n+2} \\ c_{n+1}} [/mm] |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten bei Aufgabe 3 b), weil ich nicht weiß, was mit geschlossener Ausdruck für [mm] c_{n} [/mm] gemeint ist, welcher nur von n abhängt.
Kann mir bitte jemand helfen?
MfG
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> Aufgabe 3
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> a) Betrachten Sie die Matrix
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> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 0 }[/mm]
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> in Mat(2, [mm]\IR[/mm] ).
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> Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie
> eine Basiswechselmatrix S [mm]\in[/mm] GL(2, [mm]\IR[/mm] ), so dass [mm]S^{-1}AS[/mm]
> Diagonalgestalt hat.
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> b) Die Folge der Fibonacci-Zahlen [mm]c_{1}, c_{2},[/mm] ... [mm]\in \IN[/mm]
> ist definiert durch [mm]c_{1}[/mm] = [mm]c_{2}[/mm] = 1 und [mm]c_{n+2}[/mm] = [mm]c_{n+1}[/mm]
> + [mm]c_{n}[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm] Benutzen Sie Teil a), um einen
> geschlossenen Ausdruck für [mm]c_{n}[/mm] anzugeben, der nur von n
> abhängt.
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> Hinweis: Für Matrix A aus teil a) gilt: A *
> [mm]\vektor{c_{n+1} \\
c_{n}}[/mm] = [mm]\vektor{c_{n+2} \\
c_{n+1}}[/mm]
Mit anderen Worten
[mm]A^n\underbrace{\vektor{c_{2} \\
c_1}}_{M_2}=\underbrace{\vektor{c_{n+2} \\
c_{n+1}}}_{M_{n+2}}[/mm]
Nun hast du
[mm]\pmat{ | & | \\
M_{n+1} & M_{n} \\
| & |} =A^n\pmat{ | & | \\
M_{1} & M_{0} \\
| & |}[/mm]
Setzt man noch [mm]c_0=1[/mm] und [mm]c_{-1}=1[/mm]
Ist
[mm]\pmat{ | & | \\
M_{n+1} & M_{n} \\
| & |} =A^n\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
Jetzt du
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> Hallo,
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> ich habe Schwierigkeiten bei Aufgabe 3 b), weil ich nicht
> weiß, was mit geschlossener Ausdruck für [mm]c_{n}[/mm] gemeint
> ist, welcher nur von n abhängt.
> Kann mir bitte jemand helfen?
>
> MfG
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Hi,
du meinst [mm] c_{0} [/mm] = 0, oder?
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Bei den Indizies komm ich öfters durch einander. Jedenfalls solltest du am Ende auf
[mm]\pmat{c_{n+1}&c_n\\
c_n&c_{n-1}}=A^n[/mm]
kommen.
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Hi,
danke, ich konnte die Aufgabe lösen.
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