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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:33 Do 12.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Unter welchen Bedinungen an b1, b2, b3 ist das System
x + 2y - 2z = b1
2x + 5y - 4z = b2
4x + 9y - 8z = b3
lösbar?
Finde alle Lösungen für den Fall, dass die Lösbarkeitsbedingung erfüllt ist. |
Hallo,
ich habe nun eine Matrix aufgestellt:
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b1 \\ 2 & 5 & -4 & b2 \\ 4 & 9 & -8 & b3 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b1 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 1 & 0 & b3-4b1 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b1 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 \end{bmatrix}
[/mm]
Damit nun das System überhaupt lösbar ist, muss gelten: b3-b2-2b1 = 0
Außerdem kann man direkt ablesen, dass für b2 gelten muss: b2-2b1
Damit alle Lösungen rauskommen, muss noch der Nullraum bestimmt werden, dieser ist: N(A) = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
[/mm]
Soweit alles kein Problem, nur wie komme ich auf die Bedingung für b1?
Laut Lösung soll -2b2+3b1 rauskommen.
Aus der Matrix kann ich die Bedingung nicht direkt ablesen, aber ich hab mir gedacht, ich könnte die Matrix noch weiter vereinfachen:
-> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & b1-2b2+4b1 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 5b1-2b2 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 \end{bmatrix} [/mm]
Damit komme ich für b1 auf -2b2+5b1 also auch falsch. Wie komme ich an die Bedinung für b1 ran? Ich sehe es einfach nicht.
Vielen Dank im Voraus.
itse
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> Unter welchen Bedinungen an b1, b2, b3 ist das System
>
> x + 2y - 2z = b1
> 2x + 5y - 4z = b2
> 4x + 9y - 8z = b3
>
> lösbar?
>
> Finde alle Lösungen für den Fall, dass die
> Lösbarkeitsbedingung erfüllt ist.
> Hallo,
>
> ich habe nun eine Matrix aufgestellt:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b1 \\ 2 & 5 & -4 & b2 \\ 4 & 9 & -8 & b3 \end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b1 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 1 & 0 & b3-4b1 \end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b1 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 \end{bmatrix}[/mm]
Hallo,
mach Dir doch bitte in Zukunft noch die kleine Mühe, Indizes zu schreiben.
Man kann es dan nwirklich bequemer lesen.
>
> Damit nun das System überhaupt lösbar ist, muss gelten:
> b3-b2-2b1 = 0
Ja.
>
> Außerdem kann man direkt ablesen, dass für b2 gelten
> muss: b2-2b1
???
Das ist keine Aussage.
Was soll mit [mm] b_2-2b_1 [/mm] sein?
>
> Damit alle Lösungen rauskommen, muss noch der Nullraum
> bestimmt werden, dieser ist: N(A) = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.[/mm]
Richtig.
>
> Soweit alles kein Problem, nur wie komme ich auf die
> Bedingung für b1?
Was meinst Du mit "Bedingung für [mm] b_1"?
[/mm]
>
> Laut Lösung soll -2b2+3b1 rauskommen.
Wofür? ich weiß nicht recht, was Du meinst.
Du willst ja x,y,und z ausrechnen.
>
>
> Aus der Matrix kann ich die Bedingung nicht direkt ablesen,
> aber ich hab mir gedacht, ich könnte die Matrix noch
> weiter vereinfachen:
Ja, bis zur reduzierten Zeilenstufenform, an welcher man die Lösung bequem ablesen kann:
>
> -> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & b1-2b2+4b1 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 \end{bmatrix}[/mm]
> -> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 5b1-2b2 \\ 0 & 1 & 0 & b2-2b1 \\ 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 \end{bmatrix}[/mm]
>
Man liest ab für den Fall der Lösbarkeit:
eine spezielle Lösung ist [mm] x_s=\vektor{5b_1-2b_2\\b_2-2b_1\\ 0},
[/mm]
die Lösung des homogenen Systems ist [mm] <\vektor{2\\0\\1}>, [/mm] so daß der Lösungsraum des Systems
[mm] L=\vektor{5b_1-2b_2\\b_2-2b_1\\ 0}+<\vektor{2\\0\\1}> [/mm] ist.
Durch Einsetzen kannst Du Dich davon überzeugen, daß diese Lösung stimmt.
> Damit komme ich für b1 auf -2b2+5b1 also auch falsch.
???
Möglicherweise sieht die Dir vorliegende Lösung etwas anders aus als Deine.
Für die spezielle Lösung [mm] x_s [/mm] kann man ja jede Lösung des Systems nehmen.
> Wie
> komme ich an die Bedinung für b1 ran? Ich sehe es einfach
> nicht.
>
Aus meiner Sicht ist es richtig, was Du bisher getan und gerechnet hast.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank im Voraus.
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 12.11.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort, nun ist mir doch noch ein Licht aufgegangen. Natürlich suche ich nach den Bedingungen für x,y und z.
Nach der Matrix:
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-2b_1 \end{bmatrix}
[/mm]
Somit gilt für z = 0 und dann muss [mm] b_3-b_2-2b_1 [/mm] auch Null sein, ansonsten wäre es nicht lösbar.
Für y = [mm] b_2-2b_1 [/mm] ergibt sich direkt aus der Matrix.
Und für x lese ich folgendes ab:
x +2y -2z = [mm] b_1 [/mm] 'Nun setze ich die zuvor gewonnenen Bedingungen ein
[mm] x+2(b_2-2b_1)-2\cdot{}0 [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
x+ [mm] 2b_2-4b_1 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] -> x = [mm] 5b_1-2b_2
[/mm]
Also das was ich vorher ausgerechnat habe, stimmt also.
In der Musterlösung steht nun:
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-2b_1 \end{bmatrix}
[/mm]
Lösbarkeitsbedinung [mm] b_3-b_2-2_b1 [/mm] = 0
allgemeine Lösung:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2b_2+3b_1 \\ b_2-2b_1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + z [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Natürlich ohne Rechenweg. Aber dann wäre dies doch falsch?
Gruß
itse
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> Hallo,
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> vielen Dank für die Antwort, nun ist mir doch noch ein
> Licht aufgegangen. Natürlich suche ich nach den
> Bedingungen für x,y und z.
>
> Nach der Matrix:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-2b_1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Somit gilt für z = 0 und dann muss [mm]b_3-b_2-2b_1[/mm] auch Null
> sein, ansonsten wäre es nicht lösbar.
Hallo,
nein, das ist völlig falsch.
Die letzte Zeile der Matrix teilt Dir mit, daß [mm] 0*x+0*y+0*z=b_3-b_2-2b_1,
[/mm]
und die einzige Möglichkeit, daß diese Aussage wahr ist, ist, wenn [mm] b_3-b_2-2b_1=0.
[/mm]
Wenn dies nicht der Fall ist, können wir gleich einpacken, das System hat dann keine Lösung, denn man hätte ja sowas dastehen wie 0=5.
Wir betracheten für die nun folgenden Lösbarkeitsüberlegungen also nur noch den Fall, daß [mm] b_3-b_2-2b_1=0.
[/mm]
Du suchst nun anscheinend eine spezielle Lösung des Systems und setzt dazu z=0.
>
> Für y = [mm]b_2-2b_1[/mm] ergibt sich direkt aus der Matrix.
Ja.
>
> Und für x lese ich folgendes ab:
>
> x +2y -2z = [mm]b_1[/mm] 'Nun setze ich die zuvor gewonnenen
> Bedingungen ein
>
> [mm]x+2(b_2-2b_1)-2\cdot{}0[/mm] = [mm]b_1[/mm]
>
> x+ [mm]2b_2-4b_1[/mm] = [mm]b_1[/mm] -> x = [mm]5b_1-2b_2[/mm]
>
> Also das was ich vorher ausgerechnat habe, stimmt also.
Ja.
Du weißt nun, daß [mm] x_s=\vektor{5b_1-2b_2\\b_2-2b_1\\0} [/mm] eine Lösung des Systems ist.
>
>
> In der Musterlösung steht nun:
>
>
> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & b_1 \\ 0 & 1 & 0 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-2b_1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Lösbarkeitsbedinung [mm]b_3-b_2-2_b1[/mm] = 0
>
> allgemeine Lösung:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm] \begin{pmatrix} -2b_2+3b_1 \\ b_2-2b_1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + z [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Natürlich ohne Rechenweg. Aber dann wäre dies doch
> falsch?
Ich nehme an, daß Deine Chefs beim in die reduzierte ZSF-Bringen einen Vorzeichenfehler gemacht haben.
Wir prüfen jetzt einfach mal, ob deren Lösung stimmt und setzen [mm] x=-2b_2+3b_1, y=b_2-2b_1 [/mm] , z=0 ins System ein:
[mm] (-2b_2+3b_1) [/mm] + [mm] 2(b_2-2b_1) [/mm] = [mm] 0-b_1\not=b_1
[/mm]
[mm] 2(-2b_2+3b_1) [/mm] + [mm] 5(b_2-2b_1) =b_2-4b_2\not= b_2
[/mm]
[mm] 4(-2b_2+3b_1) [/mm] + [mm] 9(b_2-2b_1) =b_2-6b_1\not=b_2+2_b_1=b_3
[/mm]
Die Lösung der Chefs ist falsch.
Gruß v. Angela
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