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| Aufgabe | Betrachtet sei der Endomorphismus f : [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] mit [mm] f(e1)=(1,1,0)^{T}, f(e2)=(0,1,1)^{T}, f(e3)=(1,0,1)^{T}, [/mm] worin e1, e2, e3 die Standart-Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] ist. Weiter seien die Vektoren [mm] v1=(-1,2,-3)^{T}, v2=(3,-2,1)^{T}, v3=(1,1,1)^{T} [/mm] gegeben.
(i) Bestimmen Sie die Matrix [mm] A_{f} [/mm] von f bezüglich der Standart-Basis e1,e2,e3 und berechnen Sie f(v1), f(v2), f(v3) sowie det(A_^{f}).
(ii) Berechnen Sie das Volumen des Parallelotops P(v1,v2,v3) und das Volumen des Parallelotops f(P)=P(f(v1),f(v2),f(v3)).
(iii) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von P und f(P) sowie [mm] det(A_1{f})? [/mm] |
Hallo!
Ich habe mich nun schon eine Weile mit dieser Aufgabe beschäftigt und auch im Internet mal umhergeguckt. Kann allerdings nicht viel damit anfangen.
Hier mal meine Vorschläge:
(i) [mm] A_{f} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] ... richtig? Aber wie berechne ich nun v1, v2, v3 und die [mm] det(A_{f})?
[/mm]
(ii) V = | [mm] \vec{v1}*( \vec{v2} \times \vec{v3})| [/mm] = |det [mm] \pmat{ v1x & v2x & v3x \\ v1y & v2y & v3y \\ v1z & v2z & v3z } [/mm] | (laut http://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt)
--> V von P(v1,v2,v3) = 16
--> V von P(f(v1),f(v2),f(v3)) = 2
richtig?
(iii) hab ich leider absolut keine Ahnung. :(
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen würde!
Danke schonmal!
Liebe Grüße, Raingirl87
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 20.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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