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Hallo,
Ich hoffe, ich hab den richtigen Forenunterpunkt erwischt, also ich muss diese Aufgabe lösen, leider habe ich nur wenig Vorwissen dazu und weiß nicht wo ich beginnen soll. (Leider besitze ich kein Skriptum zum nachblättern) Wenn ich dannach google finde ich auch herzlich wenig...
zu a) Was ist meine Rechnung, wie berechne ich die Eckpunkte?
Vielen Dank für jede Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 27.03.2011 | | Autor: | downandout |
push, kann mir denn keiner helfen?
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Hallo downandout,
> ![[]](/images/popup.gif) Angabe
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> Hallo,
>
> Ich hoffe, ich hab den richtigen Forenunterpunkt erwischt,
> also ich muss diese Aufgabe lösen, leider habe ich nur
> wenig Vorwissen dazu und weiß nicht wo ich beginnen soll.
> (Leider besitze ich kein Skriptum zum nachblättern) Wenn
> ich dannach google finde ich auch herzlich wenig...
>
> zu a) Was ist meine Rechnung, wie berechne ich die
> Eckpunkte?
>
Wende die Matrix T auf jeden der Eckpunkte des Polygons an.
Das steht auch im Hinweis zu dieser Teilaufgabe.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Also alle Punkte and die Matrix anwenden:
Ich nehme an, ich multipliziere einfach alle Elemente mal T
also
A*T = A'= (0,0,0)
1*1+1*2+1*3, 2*-2+2*3+3*1, 3*1+3*2+3*4=
B*T=B'=(6,5,21)
C*T=C'=(18,0,7)
D*T=D'=(12,-12,-12)
b) ursprüngliche Dreieck in Parameterform
A,B,C
[mm] x1\vektor{0 \\ 1 \\ 3}+x2\vektor{0 \\ 2 \\ 0}+x3\vektor{0 \\ 3 \\1}
[/mm]
c) Liegt auch der Punkt D in der Ebene [mm] \varepsilon
[/mm]
Dazu hab ich die drei punkte ABC Aufgezeichnet, die Linien verbunden und geschaut ob sie sich mit D treffen was sie nicht tun.
d)
Ich soll diese Werte:
B*T=B'=(6,5,21)
C*T=C'=(18,0,7)
D*T=D'=(12,-12,-12) zurück in das normal P rechnen?
Darf ich da einfach die einzelnen Werte durch die Spaltensumme der Matrix dividieren?! Oder wie funktioniert eine Rücktransformation?
e) Wie berechnet man die Fläche?!
Danke für die Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 Di 29.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo downandout,
> Also alle Punkte and die Matrix anwenden:
>
> Ich nehme an, ich multipliziere einfach alle Elemente mal
> T
>
> also
> A*T = A'= (0,0,0)
> 1*1+1*2+1*3, 2*-2+2*3+3*1, 3*1+3*2+3*4=
>
> B*T=B'=(6,5,21)
> C*T=C'=(18,0,7)
> D*T=D'=(12,-12,-12)
Nein, du musst andersherum Mulitplizieren (so wie es auch im Hinweis steht):
[mm]A^\prime=T\cdot A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\
2&3&3\\
3&1&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\
2\\
3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*1+2*(-2)+3*1 \\
1*2+2*3+3*3\\
1*3+2*1+3*4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
14\\
17\end{pmatrix}[/mm]
Schau dir das Rechnen mit Matrizen noch mal an!!!
> b) ursprüngliche Dreieck in Parameterform
>
> A,B,C
>
> [mm]x1\vektor{0 \\
1 \\
3}+x2\vektor{0 \\
2 \\
0}+x3\vektor{0 \\
3 \\
1}[/mm]
Wie kommst du denn auf diese Vektoren?! Eine (von mehreren möglichen) Parameterform der Ebene bekommst du mit
[mm]\varepsilon= A+\lambda\cdot (B-A)+\mu\cdot (C-A)[/mm]
Das solltest du dir auch noch mal anschauen!
> c) Liegt auch der Punkt D in der Ebene [mm]\varepsilon[/mm]
> Dazu hab ich die drei punkte ABC Aufgezeichnet, die Linien
> verbunden und geschaut ob sie sich mit D treffen was sie
> nicht tun.
Ich glaube, mit "stichhaltig" ist da was anderes gemeint... Wie wär's, wenn du einfach ausrechnest, ob D auch in der Ebene liegt? Setze dazu den Vektor D gleich deiner Ebene aus b).
> d)
> Ich soll diese Werte:
> B*T=B'=(6,5,21)
> C*T=C'=(18,0,7)
> D*T=D'=(12,-12,-12) zurück in das normal P rechnen?
>
> Darf ich da einfach die einzelnen Werte durch die
> Spaltensumme der Matrix dividieren?! Oder wie funktioniert
> eine Rücktransformation?
Nein, du musst die Matrix invertieren - d.h. falls das möglich ist.
> e) Wie berechnet man die Fläche?!
Zunächstmal sollte dir klar sein, welche Lage die 4 Punkte zueinander haben (siehe c). Falls die Punkte in einer Ebene liegen, bilden sie ein Viereck. Falls es ein spezielles Viereck ist (Quadrat, Parallelogramm, etc) kannst du die entsprechende Formel verwenden - die Seitenlängen musst du vorher natürlich ausrechnen.
> Danke für die Hilfe :)
Lieben Gruß,
Fulla
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> Hallo downandout,
>
> > Also alle Punkte and die Matrix anwenden:
> >
> > Ich nehme an, ich multipliziere einfach alle Elemente mal
> > T
> >
> > also
> > A*T = A'= (0,0,0)
> > 1*1+1*2+1*3, 2*-2+2*3+3*1, 3*1+3*2+3*4=
> >
> > B*T=B'=(6,5,21)
> > C*T=C'=(18,0,7)
> > D*T=D'=(12,-12,-12)
>
> Nein, du musst andersherum Mulitplizieren (so wie es auch
> im Hinweis steht):
> [mm]A^\prime=T\cdot A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\
2&3&3\\
3&1&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\
2\\
3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*1+2*(-2)+3*1 \\
1*2+2*3+3*3\\
1*3+2*1+3*4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
14\\
17\end{pmatrix}[/mm]
>
Oh, wie könnte mir das passieren :P
Also die Lösung ist:
A' [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
B' [mm] \vektor{0 \\ 14 \\ 17}
[/mm]
C' [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ 13}
[/mm]
D' [mm] \vektor{4 \\ -6 \\ -4}
[/mm]
> Schau dir das Rechnen mit Matrizen noch mal an!!!
>
> > b) ursprüngliche Dreieck in Parameterform
> >
> > A,B,C
> >
> > [mm]x1\vektor{0 \\
1 \\
3}+x2\vektor{0 \\
2 \\
0}+x3\vektor{0 \\
3 \\
1}[/mm]
>
> Wie kommst du denn auf diese Vektoren?! Eine (von mehreren
> möglichen) Parameterform der Ebene bekommst du mit
> [mm]\varepsilon= A+\lambda\cdot (B-A)+\mu\cdot (C-A)[/mm]
>
> Das solltest du dir auch noch mal anschauen!
Danke, ;) also:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 14 \\ 17} +\mu \vektor{4 \\ 8 \\ 13}
[/mm]
>
> > c) Liegt auch der Punkt D in der Ebene [mm]\varepsilon[/mm]
> > Dazu hab ich die drei punkte ABC Aufgezeichnet, die
> Linien
> > verbunden und geschaut ob sie sich mit D treffen was sie
> > nicht tun.
>
> Ich glaube, mit "stichhaltig" ist da was anderes gemeint...
> Wie wär's, wenn du einfach ausrechnest, ob D auch in der
> Ebene liegt? Setze dazu den Vektor D gleich deiner Ebene
> aus b).
Ok ich habe den Vektor D, aber ich habe als Ebene ja die 3 Vektoren, wie soll ich das mit D gleichsetzen, beispiel oder rechnung bitte?
>
> > d)
> > Ich soll diese Werte:
> > B*T=B'=(6,5,21)
> > C*T=C'=(18,0,7)
> > D*T=D'=(12,-12,-12) zurück in das normal P rechnen?
> >
> > Darf ich da einfach die einzelnen Werte durch die
> > Spaltensumme der Matrix dividieren?! Oder wie funktioniert
> > eine Rücktransformation?
>
> Nein, du musst die Matrix invertieren - d.h. falls das
> möglich ist.
>
Ok, ich habe die Determinate der Matrix gebildet, sie ergibt -14 also nicht 0 also ist sie das möglich.
Also ist das so gemeint das ich die Werte A', B', C', D' dann einfach mit der Inversen Matrix multipliziere?
> > e) Wie berechnet man die Fläche?!
>
> Zunächstmal sollte dir klar sein, welche Lage die 4 Punkte
> zueinander haben (siehe c). Falls die Punkte in einer Ebene
> liegen, bilden sie ein Viereck. Falls es ein spezielles
> Viereck ist (Quadrat, Parallelogramm, etc) kannst du die
> entsprechende Formel verwenden - die Seitenlängen musst du
> vorher natürlich ausrechnen.
Klingt logisch ;)
Wie konkret errechne ich die Seitenlänge?
>
> > Danke für die Hilfe :)
>
>
Vielen herzlichen Dank, für die tolle Lösung!
Das Forum ist echt toll, so beginnt mahte fast spaß zu machen :D
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:02 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> > Hallo downandout,
> >
> > > Also alle Punkte and die Matrix anwenden:
> > >
> > > Ich nehme an, ich multipliziere einfach alle Elemente mal
> > > T
> > >
> > > also
> > > A*T = A'= (0,0,0)
> > > 1*1+1*2+1*3, 2*-2+2*3+3*1, 3*1+3*2+3*4=
> > >
> > > B*T=B'=(6,5,21)
> > > C*T=C'=(18,0,7)
> > > D*T=D'=(12,-12,-12)
> >
> > Nein, du musst andersherum Mulitplizieren (so wie es auch
> > im Hinweis steht):
> > [mm]A^\prime=T\cdot A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\
2&3&3\\
3&1&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\
2\\
3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*1+2*(-2)+3*1 \\
1*2+2*3+3*3\\
1*3+2*1+3*4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
14\\
17\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> Oh, wie könnte mir das passieren :P
> Also die Lösung ist:
>
> A' [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
> B' [mm]\vektor{0 \\
14 \\
17}[/mm]
> C'
> [mm]\vektor{4 \\
8 \\
13}[/mm]
> D' [mm]\vektor{4 \\
-6 \\
-4}[/mm]
>
>
>
> > Schau dir das Rechnen mit Matrizen noch mal an!!!
Ja, das stimmt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > > b) ursprüngliche Dreieck in Parameterform
> > >
> > > A,B,C
> > >
> > > [mm]x1\vektor{0 \\
1 \\
3}+x2\vektor{0 \\
2 \\
0}+x3\vektor{0 \\
3 \\
1}[/mm]
>
> >
> > Wie kommst du denn auf diese Vektoren?! Eine (von mehreren
> > möglichen) Parameterform der Ebene bekommst du mit
> > [mm]\varepsilon= A+\lambda\cdot (B-A)+\mu\cdot (C-A)[/mm]
> >
> > Das solltest du dir auch noch mal anschauen!
>
> Danke, ;) also:
>
>
> [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\
14 \\
17} +\mu \vektor{4 \\
8 \\
13}[/mm]
Das wäre die Ebene in der A', B' und C' liegen...
> > > c) Liegt auch der Punkt D in der Ebene [mm]\varepsilon[/mm]
> > > Dazu hab ich die drei punkte ABC Aufgezeichnet, die
> > Linien
> > > verbunden und geschaut ob sie sich mit D treffen was sie
> > > nicht tun.
> >
> > Ich glaube, mit "stichhaltig" ist da was anderes gemeint...
> > Wie wär's, wenn du einfach ausrechnest, ob D auch in der
> > Ebene liegt? Setze dazu den Vektor D gleich deiner Ebene
> > aus b).
>
> Ok ich habe den Vektor D, aber ich habe als Ebene ja die 3
> Vektoren, wie soll ich das mit D gleichsetzen, beispiel
> oder rechnung bitte?
Ich will dir nicht die Aufgabe b) vorwegnehmen, darum zeige ich es dir am Beispiel der Ebene in der A', B', C' liegen (die hast du ja oben schon hingeschrieben). Ich möchte prüfen, ob auch D' in dieser Ebene liegt. Falls dem so ist, gibt es [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] so, dass diese Gleichung richtig ist:
[mm]\vektor{4 \\
-6 \\
-4}=\vektor{0 \\
0 \\
0}+\lambda \vektor{0 \\
14 \\
17} +\mu \vektor{4 \\
8 \\
13}[/mm]
(Den Nullvektor kannst du auch weglassen.) Das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen in 2 Variablen. An der ersten Zeile siehst du, dass [mm]\mu=1[/mm] sein muss. Die zweite Zeile bringt uns dann [mm]\lambda=-1[/mm]. Und siehe da, die dritte Zeile stimmt damit auch. Also liegt auch D' in dieser Ebene.
Jetzt probier das mit der richtigen Ebene und dem Punkt D.
> > > d)
> > > Ich soll diese Werte:
> > > B*T=B'=(6,5,21)
> > > C*T=C'=(18,0,7)
> > > D*T=D'=(12,-12,-12) zurück in das normal P
> rechnen?
> > >
> > > Darf ich da einfach die einzelnen Werte durch die
> > > Spaltensumme der Matrix dividieren?! Oder wie funktioniert
> > > eine Rücktransformation?
> >
> > Nein, du musst die Matrix invertieren - d.h. falls das
> > möglich ist.
> >
> Ok, ich habe die Determinate der Matrix gebildet, sie
> ergibt -14 also nicht 0 also ist sie das möglich.
>
> Also ist das so gemeint das ich die Werte A', B', C', D'
> dann einfach mit der Inversen Matrix multipliziere?
Wenn du die Abbildung T z.B. auf den Punkt A loslässt, bekommst du A'. Es gilt [mm]A'=T(A)=T*A[/mm]. Du suchst jetzt eine Abbildung - nennen wir sie erst mal S - die A' zurück auf A abbildet. Also [mm]A=S(A')=S*A'[/mm]. Bzw. wenn du A' da einsetzt: [mm]A=S*T*A[/mm]. Und das heißt [mm]S*T[/mm] ist die Einheitsmatrix, also [mm]S=T^{-1}[/mm].
Du hast also recht, wenn du die inverse Matrix [mm]T^{-1}[/mm] mit den Punkten A', B',... mulitplizierst, bekommst du wieder die Punkte A,B,...
Also, wie sieht diese Matrix aus?
> > > e) Wie berechnet man die Fläche?!
> >
> > Zunächstmal sollte dir klar sein, welche Lage die 4 Punkte
> > zueinander haben (siehe c). Falls die Punkte in einer Ebene
> > liegen, bilden sie ein Viereck. Falls es ein spezielles
> > Viereck ist (Quadrat, Parallelogramm, etc) kannst du die
> > entsprechende Formel verwenden - die Seitenlängen musst du
> > vorher natürlich ausrechnen.
>
> Klingt logisch ;)
>
> Wie konkret errechne ich die Seitenlänge?
Mal angenommen, die vier Punkte A,B,C,D bilden ein ebenes Viereck, z.B. ein Prallelogramm (wink mit dem Zaunpfahl). Dann brauchst du für die Flächenberechnung u.a. die Länge von AB (also dem Verbindungsvektor der Punkte A und B). Vielleicht kommt es dir mit Vektorpfeilen bekannter vor: [mm]\overrightarrow{AB}=\vec B - \vec A=\vektor{1\\
2\\
3}[/mm]
Den Betrag eines Vektor [mm]X=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] berechnet man mit [mm]|X|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}[/mm], also ist [mm]|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}[/mm].
Berechne für diese Teilaufgabe alle Seitenlängen des Vierecks ABCD und benutze dann eine dir bekannte Formel für den Flächeninhalt.
> > > Danke für die Hilfe :)
> >
> >
> Vielen herzlichen Dank, für die tolle Lösung!
>
> Das Forum ist echt toll, so beginnt mahte fast spaß zu
> machen :D
Dafür sind wir ja da! (Und was heißt da "fast"? 
Lieben Gruß,
Fulla
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![[]](http://img849.imageshack.us/f/mathbastechnikenvopruef.jpg/){kind=small}
Angabe