Matrix aus Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Di 29.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe mich gefragt, ob man aus gegebenem Bild und Kern einer Matrix (bei gegebener grösse des Untervektorraums der Matrix) die Matrix selbst eindeutig bestimmen kann?
Beispiel:
Bild A = Span [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \}
[/mm]
Kern A = [mm] \{ \vektor{ 0 \\ -s \\ s} \} [/mm] , s ist ein Parameter
Das Bild der Matrix, kann man doch einfach in die Spalten der gesuchten Matrix schreiben. Aber die Matrix soll ja drei Spalten haben und ich habe zwei Bilder. Ich bin mir nun nicht sicher, ob es egal ist, in welche Spalten der gesuchten Matrix man die Bilder schreibt?
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 1 & c}
[/mm]
Und jetzt ein Gleichungssystem mit A*Kernvektor = Nullvektor
Aber dann ist es ja noch nicht eindeutig bestimmt? Geht es also nur wenn die Matrix vollen Rang bzw. keinen Kern und nur Bilder hat, weil sie dann injektiv ist? Ist das richtig? Und wenn ja, wie weiss ich welche Bildvektoren in welche Spalte der Matrix müssen?
Danke.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 29.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
wenn ich
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&2\\ 0 & 1&2 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&1\\ 0 & 1&1 }
[/mm]
betrachte erhalte ich die gleichen Kerne und Bildbasen. Allerdings spannen die Basen einen Untervektorraum auf,der ja nun mehrere Vektoren enthält. Somit kann man i.a. keine eindeutige Matrix am Ende erhalten.
Außerdem ist es gefährlich, wenn man nicht angibt bzgl. welcher Basis die Matrix gemeint ist.
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&2\\ 0 & 1&2 } [/mm] ist die gleiche lineare Abbildung wie
[mm] \pmat{ 0 & 1&0 \\ 1 & 0&2\\ 1 & 0&2 }, [/mm] wenn man die Basis richtig wählt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Di 29.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke! Vorallem mit dem Tipp, das man eine Basis dazu angeben muss, jetzt ist es mir klar.
Das ist eigentlich was ich wissen wollte, die Frage kann grün gesetzt werden...
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Di 29.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin,
wenn $ [mm] \operatorname{ im}\varphi [/mm] = [mm] \operatorname{span} \left( \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm] $, wie kann die Matrix dann aus drei Spalten bestehen?
Geht das denn?
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
>
> wenn [mm]\operatorname{ im}\varphi = \operatorname{span} \left( \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm],
> wie kann die Matrix dann aus drei Spalten bestehen?
>
> Geht das denn?
Klar: $A:= [mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&0\\ 0 & 1&0 } [/mm] $ und $ [mm] \varphi(x):=Ax$
[/mm]
FRED
>
> Grüße
> ChopSuey
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 29.06.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
> > Moin,
> >
> > wenn [mm]\operatorname{ im}\varphi = \operatorname{span} \left( \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm],
> > wie kann die Matrix dann aus drei Spalten bestehen?
> >
> > Geht das denn?
>
> Klar: [mm]A:= \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&0\\ 0 & 1&0 }[/mm] und
> [mm]\varphi(x):=Ax[/mm]
>
> FRED
Tatsache. Danke !
Grüße
ChopSuey
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