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| Aufgabe | Finden Sie eine invertierbare Matrix T [mm] \in (3,3:\IR) [/mm] und eine Diagonalmatrix D, sodass
[mm] T^{-1}DT= \pmat{ 6 & 1 & 5 \\ 8 & 1 & 4 \\ -6 & -2 & -7 } [/mm] |
Hallo,
ich sehe mir zum lernen gerade alte Klausuren an und gehe ein paar Aufgaben durch.
Bei der Aufgabe hänge ich jetzt fest. Wie genau muss man denn hier vorgehen? Man hat ja nur die eine Matrix gegeben?
Wäre super, wenn mir da jemand den Ansatz geben könnte (meinetwegen auch zu einer eigenen Matrix).
Danke
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Hallo,
> Finden Sie eine invertierbare Matrix T [mm]\in (3,3:\IR)[/mm] und
> eine Diagonalmatrix D, sodass
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> [mm]T^{-1}DT= \pmat{ 6 & 1 & 5 \\ 8 & 1 & 4 \\ -6 & -2 & -7 }[/mm]
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> Hallo,
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> ich sehe mir zum lernen gerade alte Klausuren an und gehe
> ein paar Aufgaben durch.
> Bei der Aufgabe hänge ich jetzt fest. Wie genau muss man
> denn hier vorgehen? Man hat ja nur die eine Matrix
> gegeben?
> Wäre super, wenn mir da jemand den Ansatz geben könnte
> (meinetwegen auch zu einer eigenen Matrix).
>
> Danke
Diagonalisier die Matrix einfach, D ist die Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale und T besteht aus den Eigenvektoren.
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Di 01.10.2013 | | Autor: | Kasperkopf |
Hallo helicopter,
danke für deine Antwort.
> Diagonalisier die Matrix einfach, D ist die Matrix mit den
> Eigenwerten auf der Diagonale und T besteht aus den
> Eigenvektoren.
Das hatte ich auch schon probiert, da kam bei mir aber etwas anderes raus. Werde mich wohl verrechnet haben, ich probiers nochmal.
Grüße Kasperkopf
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Also ich habe jetzt nochmal nachgerechnet, aber wieder das gleiche rausbekommen, was aber dann nicht stimmen würde.
Mein Lösungsweg:
[mm]T^{-1}DT= \pmat{ 6 & 1 & 5 \\ 8 & 1 & 4 \\ -6 & -2 & -7 }=A[/mm]
char. Polynom:
[mm] P_A(t)=-t^3+13t-12
[/mm]
Eigenwerte:
[mm] t_1=-4
[/mm]
[mm] t_2=1
[/mm]
[mm] t_3=3
[/mm]
Eigenvektoren:
[mm] v_{-4}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{-1 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm]D= \pmat{ -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
[mm]T= \pmat{ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -5 & -2 \\ 2 & 2 & 1 }[/mm]
[mm]T^{-1}= \pmat{ 1/5 & 1/5 & 3/5 \\ 4/5 & -1/5 & 2/5 \\ -2 & 0 & -1 }[/mm]
Wenn ich die drei Matrizen jetzt multipliziere erhalte ich eine Matrix mit Brüchen, nicht die Matrix oben.
Wo ist denn da mein Fehler? Oder habe ich das falsch verstanden?
Bitte nochmal helfen.
Danke
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> Also ich habe jetzt nochmal nachgerechnet, aber wieder das
> gleiche rausbekommen, was aber dann nicht stimmen würde.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> [mm]T^{-1}DT= \pmat{ 6 & 1 & 5 \\ 8 & 1 & 4 \\ -6 & -2 & -7 }=A[/mm]
>
> char. Polynom:
> [mm]P_A(t)=-t^3+13t-12[/mm]
>
> Eigenwerte:
> [mm]t_1=-4[/mm]
> [mm]t_2=1[/mm]
> [mm]t_3=3[/mm]
>
> Eigenvektoren:
> [mm]v_{-4}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> [mm]v_1=\vektor{-1 \\ -5 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]v_3=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]D= \pmat{ -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
Hallo,
alles richtig bisher.
>
> [mm]T= \pmat{ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -5 & -2 \\ 2 & 2 & 1 }[/mm]
Mit Deinen Bezeichnungen wäre dies die Matrix [mm] T^{-1}, [/mm] die Transformationsmatrix, die aus Vektoren, die in Koordinaten bzgl. der Eigenbasis gegeben sind, solche bzgl der Standardbasis macht.
>
> [mm]T^{-1}= \pmat{ 1/5 & 1/5 & 3/5 \\ 4/5 & -1/5 & 2/5 \\ -2 & 0 & -1 }[/mm]
Das ist dann T.
Du hast offenbar einfach in der falschen Reihenfolge multipliziert.
LG Angela
>
> Wenn ich die drei Matrizen jetzt multipliziere erhalte ich
> eine Matrix mit Brüchen, nicht die Matrix oben.
>
> Wo ist denn da mein Fehler? Oder habe ich das falsch
> verstanden?
> Bitte nochmal helfen.
>
> Danke
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Hallo Angela,
vielen Dank, jetzt stimmts.
Wenn ich das auf diese Weise mache, dann erhalte ich also immer [mm] T^{-1} [/mm] und muss T bilden?
Ich hätte da dann noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
Wenn ich zwei Matrizem A und B gegeben habe mit [mm] S^{-1}AS=B [/mm] und ich soll S bzw. [mm] S^{-1} [/mm] bestimmen, damit die Gleichung aufgeht, kann ich dann genauso vorgehen??
Danke
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> Hallo Angela,
>
> vielen Dank, jetzt stimmts.
> Wenn ich das auf diese Weise mache, dann erhalte ich also
> immer [mm]T^{-1}[/mm] und muss T bilden?
Hallo,
ja.
Aber sich das so zu merken, halte ich für störanfällig.
Deshalb:
Du hattest die Matrix A, von welcher Du weißt, daß sie ähnlich zur Diagonalmatrix D ist.
Beide Matrizen sind Darstellungsmatrix derselben linearen Abbildung f, bloß bzgl. verschiedener Basen.
A bzgl. der Standardbasis S, D bzgl. der Eigenbasis E.
Um aus D die Matrix A zu machen, müssen in geeigneter Weise die Transformationsmatrizen von S nach E und umgekehrt dranmultipliziert werden.
D futtert nur Vektoren bzgl. E.
Also muß erstmal die Matrix [mm] _ET_S, [/mm] die S-Vektoren in E-Vektoren umwandelt, vorgeschaltet werden ---> [mm] D*_ET_S.
[/mm]
Die Matrix, die Du jetzt hast, frißt S-Vektoren, gibt aber E Vektoren von sich, welche noch durch die Transformationsmatrix, welche aus E-Vektoren S-Vektoren macht, umgewandelt werden [mm] müssen--->_ST_E*D*_ET_S.
[/mm]
Die Matrix, welche die Umwandlung von Vektoren aus einer "Spezialbasis" in die Standardbasis liefert, hier also [mm] _ST_E, [/mm] ist besonders einfach: in ihren Spalten stehen die Vektoren der Spezialbasis in Standardkoordinaten.
Die Matrix [mm] _ET_S [/mm] ist dann halt die Inverse davon.
> Ich hätte da dann noch eine Frage zu einer ähnlichen
> Aufgabe.
> Wenn ich zwei Matrizem A und B gegeben habe mit [mm]S^{-1}AS=B[/mm]
> und ich soll S bzw. [mm]S^{-1}[/mm] bestimmen, damit die Gleichung
> aufgeht, kann ich dann genauso vorgehen??
Gehen wir im Zusammenhang mit Deiner ersten Aufgabe mal davon aus, daß die beiden Matrizen freundlicherweise diagonalisierbar sind.
Dann gibt es eine Diagonalmatrix D und invertierbare Matrizen R und T mit [mm] T^{–1}AT=D [/mm] und [mm] R^{-1}BR=D.
[/mm]
Also haben wir
[mm] T^{–1}AT=R^{-1}BR
[/mm]
[mm] <==>RT^{–1}ATR^{-1}=B
[/mm]
Die gesuchte Matrix S ist dann [mm] S=TR^{-1}.
[/mm]
LG Angela
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