Matrix bezüglich Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Polynome von Grad kleiner gleich 2: [mm] V=\{p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2:a_0,a_1,a_2\in\IR\}.
[/mm]
Sei f: [mm] V\to [/mm] V die [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung [mm] f(p(x))=(x+1)\cdot [/mm] p'(x), wobei p'(x) ist die Ableitung [mm] (a_0+a_1x+a_2x^2)'=a_1+2a_2x.
[/mm]
a) Die Matrix von f bezüglich der Basis [mm] B=1,x,x^2 [/mm] von V aufschreiben.
b) Eine Basis und die entsprechenden Eigenräume für f finden. |
Ich hab dann das ganze einfach mal eingesetzt:
f(p(1))= [mm] 2(a_1+2a_2)
[/mm]
[mm] f(p(x))=(x+1)(a_1+2a_2x)
[/mm]
[mm] f(p(x^2))=(x^2+1)(a_1+2a_2x^2)
[/mm]
oder muss ich nicht hier [mm] p(1)=(a_0+a_1+1)(a_1+2a_2))
[/mm]
Aber auch dann hätte ich einen riesigen Term, den ich irgendwie nicht so recht in einer Matrix verpacken kann.
Ich dachte nämlich, [mm] a_0, a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] wären sozusagen einträge der Matrix
[mm] \pmat{ a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 & a_2 }\vektor{1 \\x \\ x^2 }
[/mm]
Ich hab noch nicht ganz verstanden, was ich machen muss :|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 So 02.02.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Nyuu,
> Sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der Polynome von Grad kleiner
> gleich 2: [mm]V=\{p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2:a_0,a_1,a_2\in\IR\}.[/mm]
> Sei f: [mm]V\to[/mm] V die [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung [mm]f(p(x))=(x+1)\cdot[/mm]
> p'(x), wobei p'(x) ist die Ableitung
> [mm](a_0+a_1x+a_2x^2)'=a_1+2a_2x.[/mm]
>
> a) Die Matrix von f bezüglich der Basis [mm]B=1,x,x^2[/mm] von V
> aufschreiben.
>
> b) Eine Basis und die entsprechenden Eigenräume für f
> finden.
> Ich hab dann das ganze einfach mal eingesetzt:
>
> f(p(1))= [mm]2(a_1+2a_2)[/mm]
Nein, nicht 1 in das Polynom einsetzen, sondern p(x) [mm] $\equiv$ [/mm] 1, und davon f.
f(1) = (x+1)*0 = 0
>
> [mm]f(p(x))=(x+1)(a_1+2a_2x)[/mm]
Hier p(x) = x, $f(x) = (x+1)*1 = x+1$
>
> [mm]f(p(x^2))=(x^2+1)(a_1+2a_2x^2)[/mm]
p(x) = [mm] $x^2$, $f(x^2) [/mm] = (x+1)*2x = [mm] 2x^2+2x$
[/mm]
>
>
> oder muss ich nicht hier [mm]p(1)=(a_0+a_1+1)(a_1+2a_2))[/mm]
Die Basis ist $B = 1, x, [mm] x^2$.
[/mm]
Von jedem Basisvektor das Bild von f berechnen:
$f(1) = ...$
$f(x) = ...$
[mm] $f(x^2) [/mm] = ...$
siehe oben
>
>
> Aber auch dann hätte ich einen riesigen Term, den ich
> irgendwie nicht so recht in einer Matrix verpacken kann.
>
> Ich dachte nämlich, [mm]a_0, a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] wären sozusagen
> einträge der Matrix
Nein, [mm] $a_0, a_1, a_2$ [/mm] stehen im Vektor.
Matrix* [mm] $\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2}$
[/mm]
In der Matrix stehen $( f(1), f(x), [mm] f(x^2))$, [/mm] wobei f(...) jeweils Vektoren sind
mit konkreten Zahlen.
Bsp.: $f(1) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$, [/mm] da f(1) = [mm] $0*1+0*x+0*x^2$.
[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 & a_2 }\vektor{1 \\x \\ x^2 }[/mm]
>
> Ich hab noch nicht ganz verstanden, was ich machen muss :|
Für [mm] $f(a_0+a_1x+a_2x^2) [/mm] = ...$
bekommst du wieder ein Polynom höchstens 2. Grades heraus,
das du nach der Basis $1, x, [mm] x^2$ [/mm] sortieren kannst,
und die Koeffizienten (Terme) stehen dann im Vektor auf der rechten Seite von
[mm] $(f(1),f(x),f(x^2))*\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2} [/mm] = [mm] \vektor{... \\ ... \\ ...}$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:58 So 02.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
> Hallo Nyuu,
>
> > Sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der Polynome von Grad kleiner
> > gleich 2: [mm]V=\{p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2:a_0,a_1,a_2\in\IR\}.[/mm]
> > Sei f: [mm]V\to[/mm] V die [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung
> [mm]f(p(x))=(x+1)\cdot[/mm]
> > p'(x), wobei p'(x) ist die Ableitung
> > [mm](a_0+a_1x+a_2x^2)'=a_1+2a_2x.[/mm]
> >
> > a) Die Matrix von f bezüglich der Basis [mm]B=1,x,x^2[/mm] von V
> > aufschreiben.
> >
> > b) Eine Basis und die entsprechenden Eigenräume für f
> > finden.
> > Ich hab dann das ganze einfach mal eingesetzt:
> >
> > f(p(1))= [mm]2(a_1+2a_2)[/mm]
> Nein, nicht 1 in das Polynom einsetzen, sondern p(x)
> [mm]\equiv[/mm] 1, und davon f.
> f(1) = (x+1)*0 = 0
> >
> > [mm]f(p(x))=(x+1)(a_1+2a_2x)[/mm]
> Hier p(x) = x, [mm]f(x) = (x+1)*1 = x+1[/mm]
> >
> > [mm]f(p(x^2))=(x^2+1)(a_1+2a_2x^2)[/mm]
> p(x) = [mm]x^2[/mm], [mm]f(x^2) = (x+1)*2x = 2x^2+2x[/mm]
> >
> >
> > oder muss ich nicht hier [mm]p(1)=(a_0+a_1+1)(a_1+2a_2))[/mm]
> Die Basis ist [mm]B = 1, x, x^2[/mm].
> Von jedem Basisvektor das
> Bild von f berechnen:
> [mm]f(1) = ...[/mm]
> [mm]f(x) = ...[/mm]
> [mm]f(x^2) = ...[/mm]
> siehe oben
> >
> >
> > Aber auch dann hätte ich einen riesigen Term, den ich
> > irgendwie nicht so recht in einer Matrix verpacken kann.
> >
> > Ich dachte nämlich, [mm]a_0, a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] wären sozusagen
> > einträge der Matrix
> Nein, [mm]a_0, a_1, a_2[/mm] stehen im Vektor.
>
> Matrix* [mm]\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2}[/mm]
>
> In der Matrix stehen [mm]( f(1), f(x), f(x^2))[/mm], wobei f(...)
> jeweils Vektoren sind
> mit konkreten Zahlen.
> Bsp.: [mm]f(1) = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm], da f(1) =
> [mm]0*1+0*x+0*x^2[/mm].
> >
> >
> > [mm]\pmat{ a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & a_1 & a_2 }\vektor{1 \\x \\ x^2 }[/mm]
>
> >
> > Ich hab noch nicht ganz verstanden, was ich machen muss :|
> Für [mm]f(a_0+a_1x+a_2x^2) = ...[/mm]
> bekommst du wieder ein Polynom höchstens 2. Grades heraus,
> das du nach der Basis [mm]1, x, x^2[/mm] sortieren kannst,
> und die Koeffizienten (Terme) stehen dann im Vektor auf der
> rechten Seite von
> [mm](f(1),f(x),f(x^2))*\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2} = \vektor{... \\ ... \\ ...}[/mm]
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> Gruß
> meili
Hey vielen dank, du hast mir echt geholfen :)
Das ergibt dann:
[mm] f(x)=a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)
[/mm]
als charakteristisches Polynom.
Somit komme ich auf die eigenwerte
[mm] t_1=-1 [/mm] und [mm] t_2=-\bruch{a_1}{2a_2}
[/mm]
ist das korrekt?
mfg. Nyuu
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> Das ergibt dann:
>
> [mm]f(x)=a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
Hallo,
nimm fürs charakteristische Polynon nicht denselben Buchstaben f wie für die Funktion, die wir gerade betrachten!
Ich bin etwas skeptisch...
Oh! Jetzt geht mir en Licht auf! Du hast gar nicht das charakteristische Polynom bestimmt, sondern hingeschrieben, was [mm] f(a_o+a_1x+a_2x^2) [/mm] ergibt:
[mm] f(a_o+a_1x+a_2x^2) =a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)
[/mm]
[mm] =a_1+(a_1+2a_2)x+2a_2x^2.
[/mm]
Für Aufg. a) sollst Du die Darstellungsmatrix aufstellen.
meili hat die Vorarbeiten geleistet und es genau erklärt.
Studiere genau, was sie schreibt, tut und rät - und handle danach.
LG Angela
>
> als charakteristisches Polynom.
>
> Somit komme ich auf die eigenwerte
>
> [mm]t_1=-1[/mm] und [mm]t_2=-\bruch{a_1}{2a_2}[/mm]
>
>
> ist das korrekt?
>
> mfg. Nyuu
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 So 02.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
>
> > Das ergibt dann:
> >
> > [mm]f(x)=a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> nimm fürs charakteristische Polynon nicht denselben
> Buchstaben f wie für die Funktion, die wir gerade
> betrachten!
>
> Ich bin etwas skeptisch...
>
> Oh! Jetzt geht mir en Licht auf! Du hast gar nicht das
> charakteristische Polynom bestimmt, sondern
> hingeschrieben, was [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2)[/mm] ergibt:
>
> [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2) =a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
>
> [mm]=a_1+(a_1+2a_2)x+2a_2x^2.[/mm]
>
>
> Für Aufg. a) sollst Du die Darstellungsmatrix aufstellen.
>
> meili hat die Vorarbeiten geleistet und es genau erklärt.
> Studiere genau, was sie schreibt, tut und rät - und
> handle danach.
>
> LG Angela
>
>
> >
> > als charakteristisches Polynom.
> >
> > Somit komme ich auf die eigenwerte
> >
> > [mm]t_1=-1[/mm] und [mm]t_2=-\bruch{a_1}{2a_2}[/mm]
> >
> >
> > ist das korrekt?
> >
> > mfg. Nyuu
>
Ja also ich habe gedacht:
(0, (x+1), [mm] 2x^2+x)
[/mm]
wäre die Darstellungsmatrix>
> > Das ergibt dann:
> >
> > [mm]f(x)=a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> nimm fürs charakteristische Polynon nicht denselben
> Buchstaben f wie für die Funktion, die wir gerade
> betrachten!
>
> Ich bin etwas skeptisch...
>
> Oh! Jetzt geht mir en Licht auf! Du hast gar nicht das
> charakteristische Polynom bestimmt, sondern
> hingeschrieben, was [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2)[/mm] ergibt:
>
> [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2) =a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
>
> [mm]=a_1+(a_1+2a_2)x+2a_2x^2.[/mm]
>
>
> Für Aufg. a) sollst Du die Darstellungsmatrix aufstellen.
>
> meili hat die Vorarbeiten geleistet und es genau erklärt.
> Studiere genau, was sie schreibt, tut und rät - und
> handle danach.
>
> LG Angela
>
>
> >
> > als charakteristisches Polynom.
> >
> > Somit komme ich auf die eigenwerte
> >
> > [mm]t_1=-1[/mm] und [mm]t_2=-\bruch{a_1}{2a_2}[/mm]
> >
> >
> > ist das korrekt?
> >
> > mfg. Nyuu
>
Ah ich habs missverstanden, also sieht die Matrix folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
?
Mfg. Nyuu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 So 02.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > Das ergibt dann:
> > >
> > > [mm]f(x)=a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > nimm fürs charakteristische Polynon nicht denselben
> > Buchstaben f wie für die Funktion, die wir gerade
> > betrachten!
> >
> > Ich bin etwas skeptisch...
> >
> > Oh! Jetzt geht mir en Licht auf! Du hast gar nicht das
> > charakteristische Polynom bestimmt, sondern
> > hingeschrieben, was [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2)[/mm] ergibt:
> >
> > [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2) =a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
> >
> > [mm]=a_1+(a_1+2a_2)x+2a_2x^2.[/mm]
> >
> >
> > Für Aufg. a) sollst Du die Darstellungsmatrix aufstellen.
> >
> > meili hat die Vorarbeiten geleistet und es genau erklärt.
> > Studiere genau, was sie schreibt, tut und rät - und
> > handle danach.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> > >
> > > als charakteristisches Polynom.
> > >
> > > Somit komme ich auf die eigenwerte
> > >
> > > [mm]t_1=-1[/mm] und [mm]t_2=-\bruch{a_1}{2a_2}[/mm]
> > >
> > >
> > > ist das korrekt?
> > >
> > > mfg. Nyuu
> >
>
> Ja also ich habe gedacht:
>
> (0, (x+1), [mm]2x^2+x)[/mm]
>
> wäre die Darstellungsmatrix>
> > > Das ergibt dann:
> > >
> > > [mm]f(x)=a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > nimm fürs charakteristische Polynon nicht denselben
> > Buchstaben f wie für die Funktion, die wir gerade
> > betrachten!
> >
> > Ich bin etwas skeptisch...
> >
> > Oh! Jetzt geht mir en Licht auf! Du hast gar nicht das
> > charakteristische Polynom bestimmt, sondern
> > hingeschrieben, was [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2)[/mm] ergibt:
> >
> > [mm]f(a_o+a_1x+a_2x^2) =a_1(x+1)+a_2(2x^2+2x)[/mm]
> >
> > [mm]=a_1+(a_1+2a_2)x+2a_2x^2.[/mm]
> >
> >
> > Für Aufg. a) sollst Du die Darstellungsmatrix aufstellen.
> >
> > meili hat die Vorarbeiten geleistet und es genau erklärt.
> > Studiere genau, was sie schreibt, tut und rät - und
> > handle danach.
> >
> > LG Angela
> >
> >
> > >
> > > als charakteristisches Polynom.
> > >
> > > Somit komme ich auf die eigenwerte
> > >
> > > [mm]t_1=-1[/mm] und [mm]t_2=-\bruch{a_1}{2a_2}[/mm]
> > >
> > >
> > > ist das korrekt?
> > >
> > > mfg. Nyuu
> >
>
> Ah ich habs missverstanden, also sieht die Matrix
> folgendermaßen aus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 }[/mm]
>
> ?
Nein.
FRED
>
> Mfg. Nyuu
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 02.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
So sollte es aber auf jedenfall stimmen oder?
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm] $
mfg. Nyuu
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Hallo,
ja, so ist es richtig.
LG Angela
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