Matrix einer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 27.07.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Wie gehe ich hier vor?
Wenn ich mein Skript richtig verstanden habe, dann ist [mm] $A=\pmat{\phi(\vec{v_1}) &\phi(\vec{v_2})&\phi(\vec{v_3})}$.
[/mm]
Also sind drei LGS zu lösen:
[mm] \phi(\vec{v_1}): $\pmat{ \vec{u_2} & \vec{u_3} &\vec{v_1}}=\pmat{\vec{v_1}}$
[/mm]
[mm] \phi(\vec{v_2}): $\pmat{ \vec{u_2} & \vec{u_3} &\vec{v_1}}=\pmat{\vec{v_2}}$
[/mm]
[mm] \phi(\vec{v_3}): $\pmat{ \vec{u_2} & \vec{u_3} &\vec{v_1}}=\pmat{\vec{v_3}}$
[/mm]
Richtig?
Und noch eine Frage zur Schreibweise:Wenn man [mm] \vec{v_1},\vec{v_2} [/mm] und [mm] \vec{v_3} [/mm] zusammenfassend Basis V nennt, kann ich dann die Matrix A auch [mm] _{V}\phi_{V} [/mm] nennen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Wie gehe ich hier vor?
> Wenn ich mein Skript richtig verstanden habe, dann ist
> [mm]A=\pmat{\phi(\vec{v_1}) &\phi(\vec{v_2})&\phi(\vec{v_3})}[/mm].
Nein. Sicher nicht. Es wird Dir nur gesagt, dass [mm] $\phi(u_{1,2,3})=v_{1,2,3}$ [/mm] ist. Was Du suchst, sind die Bilder [mm] $\phi(e_{1,2,3})$ [/mm] der Standardbasis [mm] $e_{1,2,3}$ [/mm] unter [mm] $\phi$. [/mm] Die gesuchte Matrix ist dann [mm] $A=\pmat{\phi(e_1) &\phi(e_2) &\phi(e_3)}$
[/mm]
>
> Also sind drei LGS zu lösen:
> [mm]\phi(\vec{v_1}):[/mm] [mm]\pmat{ \vec{u_2} & \vec{u_3} &\vec{v_1}}=\pmat{\vec{v_1}}[/mm]
>
> [mm]\phi(\vec{v_2}):[/mm] [mm]\pmat{ \vec{u_2} & \vec{u_3} &\vec{v_1}}=\pmat{\vec{v_2}}[/mm]
>
> [mm]\phi(\vec{v_3}):[/mm] [mm]\pmat{ \vec{u_2} & \vec{u_3} &\vec{v_1}}=\pmat{\vec{v_3}}[/mm]
>
> Richtig?
Ich verstehe nicht, was Du damit meinst. Was Du über [mm] $\phi$ [/mm] weisst, ist doch, dass gilt: [mm] $\phi(u_1)=\phi(e_1-e_2)=\phi(e_1)-\phi(e_2)=v_1$, $\phi(u_2)=\phi(3e_1-e_2+e_3)=3\phi(e_1)-\phi(e_2)+\phi(e_3)=v_2$ [/mm] und [mm] $\phi(u_3)=\phi(-2e_1+e_2-2e_3)=-2\phi(e_1)+\phi(e_2)-2\phi(e_3)=v_3$. [/mm] Du musst also das vektorielle Gleichungssystem
[mm]\begin{array}{rcrcrcl|}
\phi(e_1) &-& \phi(e_2) & & &=& v_1\\
3\phi(e_1) &-&\phi(e_2) &+&\phi(e_3) &=& v_2\\
-2\phi(e_1) &+&\phi(e_2) &-&2\phi(e_3) &=& v_3\\\hline
\end{array}[/mm]
nach [mm] $\phi(e_1), \phi(e_2)$ [/mm] und [mm] $\phi(e_3)$ [/mm] auflösen. Die Koordinaten dieser Vektoren bilden dann gerade die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] bezüglich der Standardbasis [mm] $e_{1,2,3}$. [/mm]
> Und noch eine Frage zur Schreibweise:Wenn man
> [mm]\vec{v_1},\vec{v_2}[/mm] und [mm]\vec{v_3}[/mm] zusammenfassend Basis V
> nennt, kann ich dann die Matrix A auch [mm]_{V}\phi_{V}[/mm] nennen?
Um, ja, das habe ich auch schon gesehen, aber nicht gerade oft ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 So 27.07.2008 | | Autor: | bigalow |
Danke!
Also ich habe das LGS aufgelöst:
[mm] \phi (e_1)=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \phi(e_2)=\vektor{-1 \\ 2 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \phi(e_3)=\vektor{0 \\ -1\\ -3}
[/mm]
Damit ist [mm] A=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 }
[/mm]
Und die Probe [mm] A*u_2 [/mm] hat auch [mm] v_2 [/mm] ergeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 27.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke!
>
> Also ich habe das LGS aufgelöst:
> [mm]\phi (e_1)=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> [mm]\phi(e_2)=\vektor{-1 \\ 2 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]\phi(e_3)=\vektor{0 \\ -1\\ -3}[/mm]
>
> Damit ist [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Diese Abbildungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] (bezüglich der Standardbasis) ist richtig.
>
> Und die Probe [mm]A*u_2[/mm] hat auch [mm]v_2[/mm] ergeben.
Die Idee ist natürlich, dass sogar [mm] $\phi(u_{1,2,3})=A [/mm] * [mm] u_{1,2,3}=v_{1,2,3}$ [/mm] ist, nicht nur $A [mm] u_2=v_2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Di 19.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Die Lösung dieser fast identischen Aufgabe ist mir nicht klar:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Kann mir einer diesen Lösungsweg erklären? Ich komme da leider gar nicht weiter.
Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo bigalow,
> Die Lösung dieser fast identischen Aufgabe ist mir nicht
> klar:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Kann mir einer diesen Lösungsweg erklären? Ich komme da
> leider gar nicht weiter.
Hier werden die [mm]u_{i}, \ i=1,2,3[/mm] auf die [mm]v_{i}, \ i)=1,2,3[/mm] abgebildet.
Demnach hast Du jetzt 3 Einzelgleichungen:
[mm]A u_{1}=v_{1}[/mm]
[mm]A u_{2}=v_{2}[/mm]
[mm]A u_{3}=v_{3}[/mm]
Ist [mm]A=\pmat{a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \\ a_{3}^{T}}[/mm],
sowie [mm]e_{j}[/mm] der j.te Einheitsvektor des [mm]\IR^{3}[/mm]
Dann erhältst Du:
[mm]a_{1}^{T} u_{1}=v_{1} e_{1}[/mm]
[mm]a_{2}^{T} u_{1}=v_{1} e_{2}[/mm]
[mm]a_{3}^{T} u_{1}=v_{1} e_{3}[/mm]
[mm]a_{1}^{T} u_{2}=v_{2} e_{1}[/mm]
[mm]a_{2}^{T} u_{2}=v_{2} e_{2}[/mm]
[mm]a_{3}^{T} u_{2}=v_{2} e_{3}[/mm]
[mm]a_{1}^{T} u_{3}=v_{3} e_{1}[/mm]
[mm]a_{2}^{T} u_{3}=v_{3} e_{2}[/mm]
[mm]a_{3}^{T} u_{3}=v_{3} e_{3}[/mm]
Zusammengefaßt läßt sich das dann so schreiben:
[mm]a_{1}^{T} u_{1}=v_{1} e_{1}[/mm]
[mm]a_{1}^{T} u_{2}=v_{2} e_{1}[/mm]
[mm]a_{1}^{T} u_{3}=v_{3} e_{1}[/mm]
[mm]a_{2}^{T} u_{1}=v_{1} e_{2}[/mm]
[mm]a_{2}^{T} u_{2}=v_{2} e_{2}[/mm]
[mm]a_{2}^{T} u_{3}=v_{3} e_{2}[/mm]
[mm]a_{3}^{T} u_{1}=v_{1} e_{3}[/mm]
[mm]a_{3}^{T} u_{2}=v_{2} e_{3}[/mm]
[mm]a_{3}^{T} u_{3}=v_{3} e_{3}[/mm]
Beziehungsweise
[mm]a_{k}^{T}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) = \left(v_{1} e_{k}, v_{2} e_{k}, v_{3} e_{k}\right), \ k=1,2,3[/mm]
Da das für alle k gilt, schreibt sich das so:
[mm]\pmat{a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \\ a_{3}^{T}} \pmat{u_{1} & u_{2} & u_{3}}=\pmat{v_{1} e_{1} & v_{2} e_{1} & v_{3} e_{1} \\ v_{1} e_{2} & v_{2} e_{2} & v_{3} e_{2} \\ v_{1} e_{3} & v_{2} e_{3} & v_{3} e_{3}}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \\ a_{3}^{T}} \pmat{u_{1} & u_{2} & u_{3}}= \pmat{v_{1} & v_{2} & v_{3}}[/mm]
[mm]\gdw A \pmat{u_{1} & u_{2} & u_{3}}= \pmat{v_{1} & v_{2} & v_{3}}[/mm]
Definiert man nun
[mm]U:=\pmat{u_{1} & u_{2} & u_{3}}[/mm]
[mm]V:=\pmat{v_{1} & v_{2} & v_{3}}[/mm]
, dann steht da:
[mm]A U = V[/mm]
Diese Gleichung ist lösbar, wenn U invertiertbar ist.
Ist U invertierbar, so folgt durch Rechtsmultiplikation mit der Inversen von U:
[mm]A U = V \Rightarrow A U U^{-1} = V U^{-1} \gdw A = V U^{-1}[/mm]
>
> Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Di 19.08.2008 | | Autor: | bigalow |
Wow! Vielen Dank für die ausführliche Antwort :) .
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