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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrix einer liearen Abbildung
Matrix einer liearen Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix einer liearen Abbildung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Fr 06.01.2006
Autor: heine789

Aufgabe
Gegeben sei die Abbildung f: R² -> R² definiert durch
[mm] f(a_{1}, a_{2}) [/mm] := [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2}, 2a_{1} [/mm] - [mm] a_{2}) [/mm]
und die Basen
[mm] B_{1} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \}, [/mm]
[mm] B_{2} [/mm] = [mm] \{ \vektor{-1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0} \} [/mm] des R².

Ermitteln Sie die Darstellungsmatrizen von f bzgl. der Basen

b1) [mm] B_{1}, B_{2} [/mm]
b2) [mm] B_{2}, B_{1} [/mm]
b3) [mm] B_{2}, B_{2} [/mm]

Hallo. Ich bins schon wieder.
Kann mir jemand sagen, ob mein Rechenweg für b1) so stimmt?

f( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 } [/mm] )
= ( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] +  [mm] 2\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }, 2\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 } [/mm] )
= ( [mm] \pmat{ -1 & 4 \\ 4 & 1 }, \pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 } [/mm] )

Hab also einfach die Basen in f eingefügt.

???

MfG heine



        
Bezug
Matrix einer liearen Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Fr 06.01.2006
Autor: Julius

Hallo heine!

> Gegeben sei die Abbildung f: R² -> R² definiert durch
>  [mm]f(a_{1}, a_{2})[/mm] := [mm](a_{1}[/mm] + [mm]2a_{2}, 2a_{1}[/mm] - [mm]a_{2})[/mm]
>  und die Basen
>  [mm]B_{1}[/mm] = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \},[/mm]
>  [mm]B_{2}[/mm] =
> [mm]\{ \vektor{-1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0} \}[/mm] des R².
>  
> Ermitteln Sie die Darstellungsmatrizen von f bzgl. der
> Basen
>  
> b1) [mm]B_{1}, B_{2}[/mm]
>  b2) [mm]B_{2}, B_{1}[/mm]
>  b3) [mm]B_{2}, B_{2}[/mm]
>  
> Hallo. Ich bins schon wieder.
>  Kann mir jemand sagen, ob mein Rechenweg für b1) so
> stimmt?
>  
> f( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm] )
>  = ( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] +  [mm]2\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }, 2\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm] )
>  = ( [mm]\pmat{ -1 & 4 \\ 4 & 1 }, \pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 }[/mm] )
>  
> Hab also einfach die Basen in f eingefügt.
>  
> ???

Was machst du da? [verwirrt]

Du musst

$f(1,0)$ und $f(0,1)$ berechnen und die entstehenden Vektoren bezüglich der Basis [mm] $B_2$ [/mm] darstellen.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Matrix einer liearen Abbildung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Fr 06.01.2006
Autor: heine789

Also für b1) dann so

f(1,0) = (1,2)

[mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-x \\ 2y} [/mm] + [mm] \vektor{2x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 2y} [/mm]

-> x = 1, y = 1

f(0,1) = (2,-1)

[mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{-x \\ 2y} [/mm] + [mm] \vektor{2x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 2y} [/mm]

-> x = 2, y = -1/2

A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & -\bruch{1}{2}} [/mm]

Kann man hier auch sowas wie eine Probe machen?

Gruß heine

Bezug
                        
Bezug
Matrix einer liearen Abbildung: falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Fr 06.01.2006
Autor: leduart

Hallo heine
> Also für b1) dann so
>  
> f(1,0) = (1,2)
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{-x \\ 2y}[/mm] + [mm]\vektor{2x \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{x \\ 2y}[/mm]

wie kommst du auf die Gleichung?  
du suchst doch x,y die Koordinaten in der Basis B2 also:
[mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]x*\vektor{-1 \\ 2}[/mm] + [mm]y*\vektor{2 \\ 0}[/mm] =

> -> x = 1, y = 1

hier ist das Ergebnis zufällig richtig!  

> f(0,1) = (2,-1)
>  
> [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{-x \\ 2y}[/mm] + [mm]\vektor{2x \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{x \\ 2y}[/mm]

aber hier: [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm] = [mm]x*\vektor{-1 \\ 2}[/mm] + [mm]y*\vektor{2 \\ 0}[/mm]

> -> x = 2, y = -1/2

Anderes Ergebnis.!  

> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & -\bruch{1}{2}}[/mm]

Falsch

> Kann man hier auch sowas wie eine Probe machen?

ja. nimm irgend nen Vektor v=(x1,x2)  in der Basis B1 bilde ihn mit f ab, schreibe ihn als Linearkombination der 2 Basisvektoren B2.also [mm] f(v)=y1*b_{21}+y2*b_{22} [/mm]
dann muss gelten: [mm] A*\vektor{x1 \\ x2}=\vektor{y1 \\ y2} [/mm]
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Matrix einer liearen Abbildung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Sa 07.01.2006
Autor: heine789

Danke für dein Hinweis!
Da hab ich mal wieder was verbrochen...

MfG heine

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