Matrix im Poincare-Modell find < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Wir befinden uns im Poincare-Modell. Es seien p:=i, [mm] q:=e^{i\mu} [/mm] zwei Punkte mit 0 < [mm] \mu [/mm] < [mm] \pi/2. [/mm] Finden Sie A [mm] \in [/mm] SL(2, [mm] \IR) [/mm] mit [mm] \phi_{A}(p)=i, \phi_{A}(q)=r*i, [/mm] r > 1. Warum hängt A nicht von [mm] \mu [/mm] ab? |
Also [mm] \phi_{A} [/mm] ist hier die Möbiustransformation bzgl. einer Matrix A, also [mm] \phi_{A}(z)=\bruch{az+b}{cz+d} [/mm] für A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in [/mm] SL(2, [mm] \IR). [/mm] Ich habe hier also vier Ubekannte und brauche folglich vier Gleichungen. Allerdings finde ich nur drei Gleichungen. Diese sind die Folgenden:
1.) ad-bc=1, wegen A [mm] \in [/mm] SL(2, [mm] \IR)
[/mm]
2.) [mm] \bruch{ai+b}{ci+d}=i, [/mm] wegen [mm] \phi_{A}(p)=i
[/mm]
3.) [mm] \bruch{ae^{i\mu}+b}{ce^{i\mu}+d}=ri, [/mm] wegen [mm] \phi_{A}(q)=ri
[/mm]
Ich bräuchte hier doch eine vierte Gleichungen, oder?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir befinden uns im Poincare-Modell. Es seien p:=i,
> [mm]q:=e^{i\mu}[/mm] zwei Punkte mit 0 < [mm]\mu[/mm] < [mm]\pi/2.[/mm] Finden Sie A
> [mm]\in[/mm] SL(2, [mm]\IR)[/mm] mit [mm]\phi_{A}(p)=i, \phi_{A}(q)=r*i,[/mm] r > 1.
> Warum hängt A nicht von [mm]\mu[/mm] ab?
>
>
> Also [mm]\phi_{A}[/mm] ist hier die Möbiustransformation bzgl.
> einer Matrix A, also [mm]\phi_{A}(z)=\bruch{az+b}{cz+d}[/mm] für A
> = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \in[/mm] SL(2, [mm]\IR).[/mm] Ich habe hier
> also vier Ubekannte und brauche folglich vier Gleichungen.
> Allerdings finde ich nur drei Gleichungen. Diese sind die
> Folgenden:
> 1.) ad-bc=1, wegen A [mm]\in[/mm] SL(2, [mm]\IR)[/mm]
> 2.) [mm]\bruch{ai+b}{ci+d}=i,[/mm] wegen [mm]\phi_{A}(p)=i[/mm]
> 3.) [mm]\bruch{ae^{i\mu}+b}{ce^{i\mu}+d}=ri,[/mm] wegen
> [mm]\phi_{A}(q)=ri[/mm]
>
> Ich bräuchte hier doch eine vierte Gleichungen, oder?
Nein. Die gesuchte Matrix ist nicht eindeutig bestimmt !
Ist $ [mm] \phi_{A}(z)=\bruch{az+b}{cz+d} [/mm] $ und z.B. a [mm] \ne [/mm] 0, so ist
$ [mm] \phi_{A}(z)=\bruch{z+\bruch{b}{a}}{\bruch{c}{a}z+\bruch{d}{a}} [/mm] $
Also [mm] \phi_{A}(z)= \phi_{B}(z) [/mm] mit [mm] $B=\bruch{1}{a}*A$
[/mm]
FRED
FRED
>
>
> Vielen Dank im Voraus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:22 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Physy |
Wir hatten auch folgenden Satz: [mm] \{ A \in SL(2, \IR) | \phi_{A}(i)=i \} [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR, a^{2} + b^{2} = 1 \}.
[/mm]
Das heißt doch, ich könnte [mm] \phi_{A}(z) [/mm] = [mm] \bruch{ai-b}{bi+a} [/mm] annehmen oder? wenn ich dann aber [mm] \phi_{A}(i)=i [/mm] betrachte kommt 0 = 0 heraus ..
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:24 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Physy |
Ich schaffe es leider nicht eine Lösung für das Gleichungssystem zu finden. Bei mir steht dann irgendwann ein rießiger komplexer ausdruck. Kann man sich vllt etwas vereinfachen, wenn man weiß, dass [mm] \mu [/mm] belanglos ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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