Matrix invertieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ a & 0 & b \\ 0 & b & 0 \\ -b & 0 & a }
[/mm]
a) Für welche Werte von a, b ∈ [mm] \IR [/mm] ist A invertierbar?
b) Berechnen Sie für den Fall der Invertierbarkeit die zu A inverse Matrix mit Hilfe der
adjungierten Matrix.
c) Welche Werte kann rg(A) annehmen, wenn b = 0 ist (Begründung!)? |
Hallo Leute, ich bin folgendermaßen vorgegangen:
zu a) det [mm] A=\vmat{ a & 0 & b \\ 0 & b & 0 \\ -b & 0 & a }=b*A_{22}=b(a^{2}+b^{2})
[/mm]
[mm] A^{-1} [/mm] existiert [mm] \gdw [/mm] det [mm] A\not=0 \gdw a^{2}\not=-b^{2} [/mm] und [mm] b\not=0 \gdw a\not=-b [/mm] und [mm] b\not=0
[/mm]
zu b)
det [mm] A=b(a^{2}+b^{2})
[/mm]
[mm] a_{11}=ab; a_{12}=0; a_{13}=b²
[/mm]
[mm] a_{21}=0; a_{22}=a^{2}+b^{2};a_{23}=0
[/mm]
[mm] a_{31}=-b²; a_{32}=0;a_{33}=ab
[/mm]
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{b(a^{2}+b^{2})}*\pmat{ ab & 0 & b^{2} \\ 0 & a^{2}+b^{2} & 0 \\ -b^{2} & 0 & ab }
[/mm]
[mm] =\pmat{\bruch{a}{a^{2}+b^{2}} & 0 & \bruch{b}{a^{2}+b^{2}} \\ 0 & \bruch{1}{b} & 0 \\ -\bruch{b}{a^{2}+b^{2}} & 0 & \bruch{a}{a^{2}+b^{2}} }
[/mm]
zu c) Wenn b=0, dann wird die Zeile 2 zu einer Nullzeile. Somit würde [mm] rg(A)\le2. [/mm] Das ist eigentlich die momentan einzige Begründung die mir einfällt.
Stimmt das alles soweit?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
die Matrix
$ [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] $
ist invertierbar, obwohl gilt $a=-b_$ ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Luis52 und danke für die Antwort. Also sollte ich es dann beim Ausdruck det [mm] A\not=0 \gdw a^{2}\not=-b^{2} [/mm] und [mm] b\not=0 [/mm] belassen. Ist denn der Rest richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis52 und danke für die Antwort. Also sollte ich es
> dann beim Ausdruck det [mm]A\not=0 \gdw a^{2}\not=-b^{2}[/mm] und
> [mm]b\not=0[/mm] belassen.
Das Kriterium lautet [mm] $a^2+b^2\ne0$ [/mm] und [mm] $b\ne0$. [/mm] Wegen [mm] $b\ne0\Rightarrow a^2+b^2\ne0$ [/mm] reicht die Voraussetzung [mm] $b\ne0$.
[/mm]
> Ist denn der Rest richtig?
Sieht gut aus.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
ok, vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
habe mal die Probe mit Mathematica gemacht. Ergebnis:
[mm] $A^{-1}=\bruch{1}{b(a^{2}+b^{2})}\cdot{}\pmat{ ab & 0 & -b^{2} \\ 0 &a^{2}+b^{2} & 0 \\ b^{2} & 0 & ab } [/mm] $.
Bei c) musst du m.E. noch genauer werden. Es gibt Faelle wo gilt [mm] $\operatorname{rg}(A)=2,1,0$. [/mm] Welche sind das?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Luis52, nun in der Aufgabe ist ja nur nach dem Rang bei b=0 gefragt. Somit wird der Wert von a komplett ausgeblendet, der ist hierbei nicht wichtig. Daher gehe ich davon aus, dass die Antwort ausreicht. Oder sehe ich da was falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo Owen,
die Frage heisst, welche Werte KANN rg(A) annehmen. Wenn du dann schreibst, rg(A) [mm] \le [/mm] 2 würde das ja heissen, rg(A) KANN 0,1,2 sein, was aber nicht der Fall ist...
Insofern führe auf, für welche a was gilt 
MfG,
Gono
|
|
|
| |
|
Der Fall [mm] a^2 [/mm] <> - [mm] b^2 [/mm] macht wenig Sinn, da Gleichheit nur bei a = b = 0 gilt.
Du solltest den Fall a = 0 separat untersuchen, b = 0 ist ja auszuschließen.
Bei der inversen matrix ist dir m.E. ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Ich meine, a31 müsste [mm] b^2 [/mm] sein.
mfg
|
|
|
|
