Matrix konstruieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Fr 23.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Konstruieren Sie eine 2x2-Matrix, deren Spaltenraum mit ihrem Nullraum übereinstimmt. |
Hallo,
es ist also eine 2x2Matrix, A = [mm] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} [/mm] gesucht, die folgende Bedingung erfüllt C(A) = N(A)
Der Spaltenraum gleich dem Nullraum. Für den Nullraum gilt die Bedingung Ax = 0, alle x die auf Null abgebildet werden, erzeugen den Nullraum der Matrix.
Als erstes wollte ich einfach die Nullmatrix nehmen, aber dann ist der Nullraum = [mm] \IR^2, [/mm] man kann alles einsetzen, es wird zu Null.
Also habe ich so weitergemacht:
Ax = 0
[mm] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
Der Nullraum einer Matrix, ist entweder eine Gerade oder der Nullvektor selbst, bei einer 2x2-Matrix kann der Spaltenraum, bei linearer Unabhängigkeit, aber auch eine Ebene darstellen, somit müssen diese beiden Vektore linear abhängig sein.
Damit nun Spaltenraum = Nullraum gilt, muss doch der Vektor des Spaltenraums, ein Vielfaches des Vektors des Nullraums sein?
[mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} [/mm]
[mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
Sei [mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] \lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
->
[mm] \begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ 3\lambda \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] + [mm] 3\lambda² [/mm] = 0 (zweite Gleichung ein Vielfaches von der ersten)
[mm] \lambda(1+3\lambda) [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = 0 oder [mm] 1+3\lambda [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}, [/mm] somit ergibt sich für die Matrix A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & -\bruch{1}{3} \\ 3 & -1 \\ \end{bmatrix}
[/mm]
Für den Spaltenraum ergibt sich C(A) = < [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>, [/mm] da der zweite Vektor linear abhängig und für den Nullraum ergibt sich als Gleichungssystem:
[mm] \begin{matrix}
1 & -\bruch{1}{3} & 0\\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
[/mm]
Also [mm] x_2 [/mm] frei wählbar = 3 -> [mm] x_1 [/mm] = 1. Insgesamt für N(A) = [mm] <\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>
[/mm]
Somit C(A) = N(A).
Würde die Lösung stimmen?
Gruß
itse
|
|
| |
|
> Konstruieren Sie eine 2x2-Matrix, deren Spaltenraum mit
> ihrem Nullraum übereinstimmt.
> Hallo,
>
> es ist also eine 2x2Matrix, A = [mm]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}[/mm]
> gesucht, die folgende Bedingung erfüllt C(A) = N(A)
>
> Der Spaltenraum gleich dem Nullraum. Für den Nullraum gilt
> die Bedingung Ax = 0, alle x die auf Null abgebildet
> werden, erzeugen den Nullraum der Matrix.
Hallo,
ja.
>
> Als erstes wollte ich einfach die Nullmatrix nehmen, aber
> dann ist der Nullraum = [mm]\IR^2,[/mm] man kann alles einsetzen, es
> wird zu Null.
Ja.
Nun betrachtest Du nur noch von der Nullmatrix verschiedene2x2-Matrizen A.
>
> Also habe ich so weitergemacht:
>
> Ax = 0
>
> [mm]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>
> Der Nullraum einer Matrix, ist entweder eine Gerade oder
> der Nullvektor selbst,
Ja.
> bei einer 2x2-Matrix kann der
> Spaltenraum, bei linearer Unabhängigkeit, aber auch eine
> Ebene darstellen, somit müssen diese beiden Vektore linear
> abhängig sein.
Der Spaltenraum ist bei linearer Unabhängigkeit eine Ebene, sonst eine Gerade.
>
> Damit nun Spaltenraum = Nullraum gilt, muss doch der Vektor
> des Spaltenraums, ein Vielfaches des Vektors des Nullraums
> sein?
Ja, wenn der Nullraum und Spaltenraum gleich sein sollen, muß es sich beide Male um dieselbe Gerade handeln.
Also werden Spalten- und Zeilenraum von demselben Vektor aufgespannt.
>
> [mm]\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix}[/mm]
Das hab' ich zuerst gar nicht verstanden - aber als ich es kritisieren wollte, ist's mir doch gekommen.
Du sagst: der Spaltenraum ist eine Gerade, wenn die beiden Spalten linear abhängig sind, und erhältst Du daraus diese Gleichung.
(Beachte: [mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] darf nicht der Nullvektor sein.)
>
> [mm]\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}[/mm]
Hiermit willst Du sagen, daß [mm] A*\mu\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} [/mm] gelten muß, wenn Spaltenraum und Nullraum übereinstimmen.
>
>
> Sei [mm]\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}[/mm]
Ich würd's jetzt so machen:
Dann ist [mm] A=\begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} [/mm]
Weil [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} [/mm] auch den Nullraum aufspannen soll, gilt
[mm] \begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}.
[/mm]
Hieraus erhält man [mm] \lambda=-1/3,
[/mm]
also Deine Matrix.
Du hast eine richtige Lösung gefunden.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]\lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}[/mm] =
> [mm]\lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>
> ->
>
> [mm]\begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ 3\lambda \\ \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] + [mm]3\lambda²[/mm] = 0 (zweite Gleichung ein Vielfaches
> von der ersten)
>
> [mm]\lambda(1+3\lambda)[/mm] = 0 -> [mm]\lambda[/mm] = 0 oder [mm]1+3\lambda[/mm] = 0
> -> [mm]\lambda[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3},[/mm] somit ergibt sich für die
> Matrix A = [mm]\begin{bmatrix} 1 & -\bruch{1}{3} \\ 3 & -1 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>
> Für den Spaltenraum ergibt sich C(A) = < [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>,[/mm]
> da der zweite Vektor linear abhängig und für den Nullraum
> ergibt sich als Gleichungssystem:
>
> [mm]\begin{matrix}
1 & -\bruch{1}{3} & 0\\
0 & 0 & 0
\end{matrix}[/mm]
>
> Also [mm]x_2[/mm] frei wählbar = 3 -> [mm]x_1[/mm] = 1. Insgesamt für N(A)
> = [mm]<\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>[/mm]
>
> Somit C(A) = N(A).
>
> Würde die Lösung stimmen?
>
> Gruß
> itse
|
|
|
|
