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| Aufgabe | Für eine n [mm] \times [/mm] n -Matrix A mit [mm] A^{2} [/mm] = A gilt:
KernA [mm] \oplus [/mm] BildA = [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Benutzen Sie diese Tatsache, um folgendes zu zeigen:
Es gibt eine Basis des [mm] \IR^{n}, [/mm] so dass die Abbildung v [mm] \mapsto [/mm] Av bezüglich dieser Basis die darstellende Matrix
[mm] \pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] hat, wobei r = dimBildA. |
Hallo,
hier ist noch eine Aufgabe, bei der ich leider nicht weiß, wie ich sie genau löse.Mein Weg bis jetzt:
KernA [mm] \oplus [/mm] BildA = [mm] \IR^{n} \gdw [/mm]
1.) KernA [mm] \cap [/mm] BildA = {0}
2.) KernA + BildA = [mm] \IR^{n}
[/mm]
Sei B = [mm] (v_{1},...,v_{l}) [/mm] Basis von KernA,
Sei C = [mm] (w_{1},...,w_{k}) [/mm] Basis von BildA.
2.) [mm] \Rightarrow \IR^{n} [/mm] = [mm]
[/mm]
1.) [mm] \Rightarrow (w_{1},...,w_{k},v_{1},...,v_{l}) [/mm] linear unabhängig
[mm] \Rightarrow [/mm] U = [mm] (w_{1},...,w_{k},v_{1},...,v_{l}) [/mm] Basis des [mm] \IR^{n}.
[/mm]
[mm] (w_{1},...,w_{k}) [/mm] Basis von BildA [mm] \Rightarrow \forall w_{i} [/mm] : [mm] \exists w_{i} [/mm] ' mit [mm] Aw_{i} [/mm] ' = [mm] w_{i}.
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht, ob ich richtig gedacht hab, das ist nämlich alles etwas willkürlich.
Ich hab nacheinander die Vektoren [mm] w_{1} ',...,w_{k} ',v_{1},...,v_{l} [/mm] über A geschickt und danach von diesen Bildvektoren die Koordinatenvektoren bzgl der Basis U = [mm] (w_{1},...,w_{k},v_{1},...,v_{l}) [/mm] des [mm] \IR^{n} [/mm] berechnet.Wenn ich diese nun Spaltenweise hintereinanderschreibe, bekomme ich die geforderte Ergebnismatrix raus.
Jedoch hab ich ja jetzt anstatt die [mm] w_{i} [/mm] die [mm] w_{i} [/mm] ' über A geschickt, und somit nicht nicht die richtige Basis verwendet, oder? Denn für einen Endomorphismus, wie er hier vorliegt, sollte ich doch die gleiche Basis verwenden, oder?
Ich hoffe Ihr könnt mir sagen, wo hier mein Fehler liegt...
Ich danke euch schonmal im Voraus.
Gruß Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Für eine n [mm]\times[/mm] n -Matrix A mit [mm]A^{2}[/mm] = A gilt:
> KernA [mm]\oplus[/mm] BildA = [mm]\IR^{n}.[/mm]
> Benutzen Sie diese Tatsache, um folgendes zu zeigen:
> Es gibt eine Basis des [mm]\IR^{n},[/mm] so dass die Abbildung v
> [mm]\mapsto[/mm] Av bezüglich dieser Basis die darstellende Matrix
> [mm]\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] hat, wobei r = dimBildA.
> Hallo,
>
> hier ist noch eine Aufgabe, bei der ich leider nicht weiß,
> wie ich sie genau löse.Mein Weg bis jetzt:
>
> KernA [mm]\oplus[/mm] BildA = [mm]\IR^{n} \gdw[/mm]
> 1.) KernA [mm]\cap[/mm] BildA = {0}
> 2.) KernA + BildA = [mm]\IR^{n}[/mm]
>
> Sei B = [mm](v_{1},...,v_{l})[/mm] Basis von KernA,
> Sei C = [mm](w_{1},...,w_{k})[/mm] Basis von BildA.
>
> 2.) [mm]\Rightarrow \IR^{n}[/mm] =
> [mm][/mm]
> 1.) [mm]\Rightarrow (w_{1},...,w_{k},v_{1},...,v_{l})[/mm] linear
> unabhängig
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U = [mm](w_{1},...,w_{k},v_{1},...,v_{l})[/mm] Basis des
> [mm]\IR^{n}.[/mm]
>
> [mm](w_{1},...,w_{k})[/mm] Basis von BildA [mm]\Rightarrow \forall w_{i}[/mm]
> : [mm]\exists w_{i}[/mm] ' mit [mm]Aw_{i}[/mm] ' = [mm]w_{i}.[/mm]
>
> Und jetzt weiß ich nicht, ob ich richtig gedacht hab, das
> ist nämlich alles etwas willkürlich.
>
> Ich hab nacheinander die Vektoren [mm]w_{1} ',...,w_{k} ',v_{1},...,v_{l}[/mm]
> über A geschickt und danach von diesen Bildvektoren die
> Koordinatenvektoren bzgl der Basis U =
> [mm](w_{1},...,w_{k},v_{1},...,v_{l})[/mm] des [mm]\IR^{n}[/mm]
> berechnet.Wenn ich diese nun Spaltenweise
> hintereinanderschreibe, bekomme ich die geforderte
> Ergebnismatrix raus.
Bis hierhin hast du zumindest erstmal keine Fehler gemacht...
> Jedoch hab ich ja jetzt anstatt die [mm]w_{i}[/mm] die [mm]w_{i}[/mm] ' über
> A geschickt, und somit nicht nicht die richtige Basis
> verwendet, oder? Denn für einen Endomorphismus, wie er hier
> vorliegt, sollte ich doch die gleiche Basis verwenden,
> oder?
Ja genau da liegt das Problem. Du darfst nur eine Basis nehmen. Was du brauchst ist eine Basis [mm] $\{w_1,...,w_k\}$ [/mm] aus Eigenvektoren zum Eigenwert 1 von [mm] $\operatorname{Bild}(A)$, [/mm] damit dann gilt [mm] $Aw_i=w_i$.
[/mm]
Habt ihr schon die Jordansche Normalform behandelt? Aus [mm] $A^2=A$ [/mm] folgt nämlich, dass dass Minimalpolynom [mm] $m_A(t)=t(t-1)$ [/mm] ist - insbesondere haben alle Jordankästchen die Größe 1 - die JNF ist also eine Diagonalmatrix. Außerdem ist das Bild von A genau der Eigenraum zum Eigenwert 1. Wie es elementar geht weiß ich grad auch nicht...
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
vielen Dank erstmal für Deine Hilfe.
Die Jordansche Normalform haben wir noch nicht gemacht, aber wir haben bereitsvorher gezeigt, dass eine Matrix mit gegebenen Voraussetzungen nur die Eigenwerte 0 und 1 hat.
Ich könnte doch einfach sagen, dass die [mm] w_{i} [/mm] Eigenvektoren seien.
Ich muss sie ja nicht explizit bestimmen, sondern nur zeigen, dass es eine Basis gibt, die diese Anforderungen erfüllt...
Würde das nicht reichen?
Gruß Michael.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo Robert,
>
> vielen Dank erstmal für Deine Hilfe.
> Die Jordansche Normalform haben wir noch nicht gemacht,
> aber wir haben bereitsvorher gezeigt, dass eine Matrix mit
> gegebenen Voraussetzungen nur die Eigenwerte 0 und 1 hat.
> Ich könnte doch einfach sagen, dass die [mm]w_{i}[/mm]
> Eigenvektoren seien.
Ja, entscheidend ist jedoch, dass das Bild von A gleich dem Eigenraum zum Eigenwert 1 ist. Warum das so ist müsstest du dir dann noch überlegen.
> Ich muss sie ja nicht explizit bestimmen, sondern nur
> zeigen, dass es eine Basis gibt, die diese Anforderungen
> erfüllt...
Genau.
Gruß, Robert
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