Matrix um einen Winkel drehen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Di 04.04.2006 | | Autor: | Apley |
| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Dieses Dreieck soll (gegen den Uhrzeigersinn) um einen Winkel von [mm] \frac{pi}{6}[/mm] [mm] \approx [/mm] 30 grad gedreht werden.
a) Stellen Sie die zugehörige Drehmatrix D auf.
Hinweis: Es ist [mm] sin \frac{pi}{6} = \frac{1}{2} [/mm], [mm] \cos x \frac{pi}{6} = \frac{1}{2}\wurzel{3}[/mm]
b) Geben Sie die Eckpunkte des gedrehten Dreiecks an.
c) Zeigen Sie, dass für alle Matrizen vom Typ
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos x & -sin x \\
0 & sin x & cos x\\
\end{pmatrix} [/mm]
gilt, dass det A = 1 ist.
A beschreibt eine Drehung.
Bestimmen Sie die Drehachse und den Drehwinkel.
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Also, ich schreib bald eine Klausur und das ist das letzte Thema was ich nicht verstanden habe. Ich habe schon Wiki und Google angeworfen aber ich versteh einfach nur Bahnhof. Aus meinem Skript werde ich gar nicht schlau. Irgendwie ist mir das alles nur ein bömisches Dorf.
Kann mir die Aufgabe evtl. jemand erklären evtl auch lösen? Am besten für Dummis, so das es auch ein 5 Klässler verstehen könnte (*übertreib*). Leider kenne ich keinen der mir sowas erklären könnte und meine Übungsleiter sind alle nicht da. Ihr könnt mir gerne auch Links geben wo man schlauer wird. Ihr könnt es mir glauben, ich wende mich wirklich nur aus Notfall an euch.
Gibt anderswo ähnlich Aufgaben die man dann lösen könnte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Apley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Di 04.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Apley
Das Dreieck ist erst mal nur zu Verwirren da. Eine Drehung ist ja ne Abbildung, die alle Vektoren gleich viel dreht und gleich lang lässt.
Also musst du nur angucken, was aus den 2 Einheitsvektoren wird, wenn man sie um 30 grad dreht. Dazu kann man schon in der 5. Klasse ne Zeichnung machen, und dannab der 8. Klasse ablesen, dass aus (1,0) (cos30,sin30) wird und aus (0,1) wird (-sin30,cos30)
Wenn man ne Matrix auf (1,0) anwendet, kommt die erste Spalte als Bild raus, auf (0,1) angewendet die 2. Spalte.
also ist das Bild von(1,0) die erste Spalte, usw.
die gefundene Matrix jetzt die gegebenen Zahlen einsetzen und mit den 2 Vektoren multiplizieren kannst du ja hoffentlich.
Damit ist a) ,b) erledigt.
Die Det in c auszurechnen ist einfach und dabei nur dran denken $sin^2x +cos^2x=1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Do 06.04.2006 | | Autor: | Apley |
Hi leduart,
vielen Dank für deine Antwort, aber leider habe ich kaum was verstanden.
Es ist mir jetzt klar das ich so eine Matrix jetzt bekomme
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{2}\wurzel{3} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\wurzel{3}\\
\end{pmatrix} [/mm]
aber weiter komme ich auch nicht. mir ist die ganze aufgabe irgendwie total suspekt. Ich würde mich nat. sehr freuen wenn du mir das besser erklären könntest, denn am Freitag schreibe ich schon die Klausur.
Ich weiß auch nicht so recht was ich mit den Eckpunkten anfangen soll. Mein Skript sagt dazu nur eine Seite und das versteh ich nicht. :(
Ich hab auch mal die 3x2 Matrix mit der 2x2 Matrix multipliziert. Das Ergebnis ist (1,0,2),(2,0,-1).
Nur was soll mir das bringen?
Ich hab einfach ein Brett vorm Kopf. Ich versteh einfach gar nichts bei dieser Aufgabe.
Matrizen, Det, Bilder usw. kenn ich und kann ich alles berechnen aber dieses drehen ist für mich ein Rätsel. Ich hab zwar noch eine andere Aufgabe + Musterlösung die sich über drehen der MAtrix beschäftigt, aber die versteh ich genau so wenig. :(
Könnte ich evtl. eine Musterlösung bekommen? Vielleicht hilft das ja etwas?
Gruß
apley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 06.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo appley
Ganz versteh ich dein Problem nicht. 1. Du hast das Dreieck in 2D nicht in 3D also im [mm] \IR^{2} [/mm] deshalb suchst du ne 2*2Matrix :
Durch ne Zeichnung, in der du einen Vektor auf der x-Achse und einen auf der y-Achse um 30° drehst(wie einen Uhrzeiger, nur gegen den normalen Uhrzeigerlauf, die Uhr zurückstellen, siehst du, was aus den Zeigern wird.
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] wenn man die mit [mm] \vektor{1\\0}multipliziert [/mm] muss [mm] \vektor{cosx,sinx} [/mm] rauskommen also :
[mm] \pmat{ a& b \\ c & d }*\vektor{1\\0}=\vektor{cosx,sinx}
[/mm]
ausmultipliziert ergibt sich a*1=cosx, c*1=sinx
jetzt mit dem 2. Einheitsvektor multipliziert ergibt 1*b=-sinx, 1*d=cosx
so findest du also die Drehmatrix.
Jetzt musst du sie auf deine 3 Punkte anwenden :
[mm] A*\vektor{0,0}=\vektor{0,0}
[/mm]
[mm] \pmat{ cosx & sinx \\ -sinx& cosx }*\vektor{1\\2}=\vektor{1*cosx+2*sinx\\1*(-sinx+2*cosx}
[/mm]
den dritten Vektor kannst du jetzt selbst drehen! Zahlen einsetzen und du hast die 3 gedrehten Eckpunkte!
Als Nächstes hast du ne 3 mal 3 matrix, also ne Drehung im [mm] \IR^3
[/mm]
Welcher Einheitsvektor wird auf sich selbst abgebildet? da die erste Spalte (1,0,0) ist wird der erste Eigenvektor auf sich selbst abgebildet. deshalb ist die 1. Koordinatenachse die Drehachse, denn nur der passiert nichts.
Wenn du die (100) Spalte und Zeile verschieben würdest, wär ne andere Koordinatenachse die Drehachse! probier es aus.
Dass die DetA=1 kannst du doch wohl ausrechnen, wenn du weisst: $sin^2x+cos^2x=1$
Eine Drehung ändert die Länge von Vektoren ja nicht, deshalb muss eine Drehmatrix diese Eigenschaft haben!
Wenns jetzt noch nicht klar ist musst du genauer sagen, wo es klemmt.
Gruss leduart
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