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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo,
ich soll zeigen, dass
[mm]Ax=\summe_{k=1}^{m}e_k\alpha_k[/mm] [mm]A=(a_._1,...,a_._n)\in\IR^m°^x^n[/mm], [mm]x=(x_1,...,x_n)^T\in\IR^n[/mm]
[mm]\alpha_k=\summe_{k=1}^{n}a_k_lx_l, k=1,....,m.[/mm]
Ich bin soweit, dass ich die die Summenzeichen aufgelöst habe und im Prinzip darstehen habe:
[mm]\summe_{k=1}^{m}e_kAx[/mm] , wenn ich dann das Summenzeichen auflöse kann man [mm]e_k[/mm] aufdröseln in [mm]e_1....e_m[/mm]. Wenn ich das ganze allerdings ausmultipliziere, kommt diese Form heraus:
[mm][mm] (e_1+....+e_m)(a_._1x_1+...+a_._nx_n)
[/mm]
Wie kann ich da weiterkommen um Ax zu zeigen, dass die rechte gleich der linken Seite ist?
Gruß,
Hulpi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hulpi,
die Gleichheit kann man zeigen, indem man die Gleichheit der Komponenten zeigt:
[mm] $(Ax)_{ij} [/mm] = [mm] (\sum\limits_{k=1}^{m}\textbf{e}_k\cdot\sum\limits_{l=1}^{n}a_{kl}x_l)_{ij}$
[/mm]
Links steht die Komponente eines Matrixprodukts und rechts steht die Komponente eines Produkts aus einem Vektor und einer Zahl.
Jetzt kann man die Definition der Matrixmultiplikation benutzen.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo mathfunnel,
so ähnlich hatte ich das auch überlegt, mir ist nur nicht ganz klar wie ich die rechte Seite auflöse. Also ich hab
$ [mm] (\sum\limits_{l=1}^{n}a_{kl}x_l)_{ij}) [/mm] $ versucht aufzulösen und kam auf das gleiche wie wenn man links Ax auflöst.
Meines Erachtens ist das dann ein Vektor von der Form:
[mm]\vektor{x_1 \\...\\ x_n}[/mm]
Was mir dann unklar ist wie man das Ganze mit
[mm] $(\sum\limits_{k=1}^{m}\textbf{e}_k)$ [/mm] multipliziert bzw. wie das aussieht.
Vielleicht kannst du mir da weiterhelfen.
Gruß,
Hulpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mo 01.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Hulpi,
ich nehme an, dass Deine Mitteilung eine Frage ist, oder? Deshalb kommt hier die Antwort auch als Mitteilung.
[mm] $\alpha_k [/mm] := [mm] \sum\limits_{l=1}^{n}a_{kl}x_l$ [/mm] ist eine reele Zahl und kann als [mm] $1\times1$ [/mm] Matrix aufgefasst werden! Da gibt es also nur eine Komponente und nichts zum "'auflösen"'.
Damit ist [mm] $\sum\limits_{k=1}^{m}(\textbf{e}_k\cdot \alpha_k)$ [/mm] ein Vektor. Der hat jetzt als $m [mm] \times [/mm] 1$ Matrix genau $m$ Komponenten.
Nur der Vektor [mm] $\textbf{e}_i$ [/mm] aus der Menge der Vektoren [mm] $\{\textbf{e}_s| s = 1,\ldots, m\}$ [/mm] hat eine von $0$ verschiedene $i$-te Komponente.
Deshalb ist
[mm] $(Ax)_{ij} [/mm] = [mm] (\sum\limits_{k=1}^{m}\textbf{e}_k\cdot\alpha_k)_{ij} [/mm] = [mm] (\textbf{e}_i\cdot \alpha_i)_{ij} [/mm] = [mm] \alpha_i$ [/mm] und das ist doch genau die Definition des Matrixprodukts!
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Di 02.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
Hallo mathfunnel,
vielen Dank für deine Hilfe. Hab mich nochmal hingesetzt und habs jetzt auch verstanden.
Gruß,
Hulpi
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