Matrix und inverse Matrix Bewe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 19.12.2010 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | a) es sei x [mm] \in \IR^n. [/mm] Zeigen sie: Die inverse Matrix zu der n x n Matrix [mm] A=I+x*x^T [/mm] ist die Matrix B=I- [mm] (x*x^T)/(1+x^T*x)
[/mm]
b) Es sei A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+\pi² & -\pi \\ 0 & -\pi & 2 } [/mm] Geben sie die inverse Matrix A^(-1) an |
Hallo zusammen,
ich steh (mal wieder) auf dem Schlach
a) Für den Beweis würde ich einfach das Matrizenprodukt AB ausrechen und schauen ob am Ende I rauskommt. (I ist die Einheitsmartix).
AB= I² - [mm] I*(x*x^T)/(1+x^T*x) [/mm] + [mm] I*x*x^T [/mm] - [mm] ((x*x^T)²)/(1+x^T*x)
[/mm]
verineinfacht ergibt das
I - [mm] (x*x^T)/(1+x^T*x) [/mm] + [mm] x*x^T [/mm] - [mm] ((x*x^T)^2)/(1+x^T*x)
[/mm]
jetzt weiß ich leider nicht so recht weiter. Ich könnte [mm] x*x^T [/mm] ausklammern:
[mm] I-x*x^T*[1 [/mm] - [mm] 1/(1+x^T*x) [/mm] - [mm] (x*x^T)/(1+x^T*x)]
[/mm]
allerdings hilft mir das auch nicht so recht weiter.
b) da müsste man ja die Matrix A in die Form [mm] A=I+x*x^T [/mm] bringen und dann einfach ausrechnen.
Nur mir fehlt gerade der "Blick" was ich das rausziehen soll.
Hoffe ihr könnt mir helfen
Gruß,
~sup
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 So 19.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
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> a) Für den Beweis würde ich einfach das Matrizenprodukt
> AB ausrechen und schauen ob am Ende I rauskommt. (I ist die
> Einheitsmartix).
>
> AB= I² - [mm]I*(x*x^T)/(1+x^T*x)[/mm] + [mm]I*x*x^T[/mm] -
> [mm]((x*x^T)²)/(1+x^T*x)[/mm]
(Das quadrat im letzten Term wird nicht angezeigt)
>
> verineinfacht ergibt das
> I - [mm](x*x^T)/(1+x^T*x)[/mm] + [mm]x*x^T[/mm] - [mm]((x*x^T)^2)/(1+x^T*x)[/mm]
>
> jetzt weiß ich leider nicht so recht weiter. Ich könnte
> [mm]x*x^T[/mm] ausklammern:
>
> [mm]I-x*x^T*[1[/mm] - [mm]1/(1+x^T*x)[/mm] - [mm](x*x^T)/(1+x^T*x)][/mm]
>
> allerdings hilft mir das auch nicht so recht weiter.
Ich habs jetzt auch versucht, du solltest sicher mit [mm] (1+x^{T}*x) [/mm] multiplizieren, das wird dich weiter bringen. Wenn du Brüche Drin hast macht das alles nur schwerer...
Ich komme darauf,dass man zeigen muss dass 0 = [mm] I*(x^{T}*x)*(x*x^{T}) [/mm] - [mm] (x*x^{T})*(x*x^{T}) [/mm] . Dies kannst du sicher zeigen?
>
> b) da müsste man ja die Matrix A in die Form [mm]A=I+x*x^T[/mm]
> bringen und dann einfach ausrechnen.
> Nur mir fehlt gerade der "Blick" was ich das rausziehen
> soll.
Ja du kannst nichts anderes rausziehen als die Einheitsmatrix. Dann erhälst du ja sone Matrix mit Nullen und [mm] \pi [/mm] 's und unten rechts einer 1. Nach meinen Versuchen und meinem Wissen kann man keinen Vektor finden, der diese Matrix ergibt.
Versuch den Gauss Jordan Algorithmus.
Gruss
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen
> Gruß,
> ~sup
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 19.12.2010 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | b) Es sei A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+\pi^2 & -\pi \\ 0 & -\pi & 2 }
[/mm]
Geben sie die inverse Matrix A^(-1) an.
Tipp: Die Matrix A in Teilaufgabe b) lässt sich in der Art von Teilaufgabe a) darstellen |
a) Also wie ich das bei deinem Term zeigen kann, wüsste ich. Allerdings komme ich auf etwas anderes.
Wie kommst du den auf ".....=0"
Wenn ich meine verinefachte Zeile I - [mm](x*x^T)/(1+x^T*x)[/mm] + [mm]x*x^T[/mm] - [mm]((x*x^T)^2)/(1+x^T*x)[/mm]
mit [mm] (1+x^T*x) [/mm] durchmultipliziere komme ich auf:
[mm] AB*/(1+x^T*x)= I*(1+x^T*x) [/mm] + [mm] (x*x^T)(x^T*x) [/mm] - [mm] (x*x^T)(x*x^T)
[/mm]
Der hintere Teile fällt ja weg weil [mm] (x*x^T)(x^T*x) [/mm] = [mm] (x*x^T)(x*x^T)
[/mm]
Also bleibt [mm] AB/(1+x^T*x)= I*(1+x^T*x). [/mm]
Und jetzt nochmal mit [mm] 1/(1+x^T*x) [/mm] multiplizieren und ich habe AB=I da stehen.
Danke schonmal bis hierhin
b)Also ich habe gerade gemerkt, dass das doch irgendwie gehen muss den unte auf meinem Aufgabenblatt würde noch folgendes hingequetscht:
"Tipp: Die Matrix A in Teilaufgabe b) lässt sich in der Art von Teilaufgabe a) darstellen"
Wenn ich I rausziehe habe ich ja A= I* [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+\pi^2 & -\pi \\ 0 & -\pi & 2 } [/mm] = I*A das nützt mir ja noch nix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 19.12.2010 | | Autor: | Sup |
also bei b) habe ich jetzt raus:
A=I+ [mm] \vektor{0 \\ \pi \\ -1} [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & \pi & -1 }
[/mm]
Das habe ich allerdings nur durch bissl raten und probieren rausbekommen.
Gibts da vllt noch was "eleganteres"
Wenn keinem was einfällt dann danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 19.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich habs nicht geschafft, weil du im ersten post ein [mm] \pi [/mm] anstelle [mm] \pi^{2} [/mm] getippt hast.
Aufjedenfall: Ja genau!
1. Das I rausziehen ist kein raten.
2. Den Vektor bestimmen auch nicht. Du nimmst einen Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
also [mm] \vektor{a \\ b \\ c}*\pmat{ a & b & c } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \pi^{2} & -\pi \\ 0 & -\pi & 1 }
[/mm]
Da sieht man bzw. erechnet man a*a = 0 , b*b = [mm] \pi^{2} [/mm] , ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 19.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> b) Es sei A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+\pi^2 & -\pi \\ 0 & -\pi & 2 }[/mm]
>
> Geben sie die inverse Matrix A^(-1) an.
> Tipp: Die Matrix A in Teilaufgabe b) lässt sich in der
> Art von Teilaufgabe a) darstellen
> a) Also wie ich das bei deinem Term zeigen kann, wüsste
> ich. Allerdings komme ich auf etwas anderes.
> Wie kommst du den auf ".....=0"
>
> Wenn ich meine verinefachte Zeile I - [mm](x*x^T)/(1+x^T*x)[/mm] +
> [mm]x*x^T[/mm] - [mm]((x*x^T)^2)/(1+x^T*x)[/mm]
> mit [mm](1+x^T*x)[/mm] durchmultipliziere komme ich auf:
>
> [mm]AB*/(1+x^T*x)= I*(1+x^T*x)[/mm] + [mm](x*x^T)(x^T*x)[/mm] -
> [mm](x*x^T)(x*x^T)[/mm]
Wieso [mm] AB*/(1+x^T*x) [/mm] ??? Es muss doch sein [mm] AB*(1+x^T*x) [/mm] und da du annimst A*B = I kannst du dafür auch gleich I schreiben.
>
> Der hintere Teile fällt ja weg weil [mm](x*x^T)(x^T*x)[/mm] =
> [mm](x*x^T)(x*x^T)[/mm]
> Also bleibt [mm]AB/(1+x^T*x)= I*(1+x^T*x).[/mm]
>
> Und jetzt nochmal mit [mm]1/(1+x^T*x)[/mm] multiplizieren und ich
> habe AB=I da stehen.
> Danke schonmal bis hierhin
>
> b)Also ich habe gerade gemerkt, dass das doch irgendwie
> gehen muss den unte auf meinem Aufgabenblatt würde noch
> folgendes hingequetscht:
> "Tipp: Die Matrix A in Teilaufgabe b) lässt sich in der
> Art von Teilaufgabe a) darstellen"
>
> Wenn ich I rausziehe habe ich ja A= I* [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1+\pi^2 & -\pi \\ 0 & -\pi & 2 }[/mm]
> = I*A das nützt mir ja noch nix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Sup |
> Wieso [mm]AB*/(1+x^T*x)[/mm] ??? Es muss doch sein [mm]AB*(1+x^T*x)[/mm] und
> da du annimst A*B = I kannst du dafür auch gleich I
> schreiben.
Ja das "/" hat sicht wohl irgendwie dazwischen gemogelt. Ich nehme ja nicht an, dass AB=I ist, sondern will es beweisen. Denn wenn AB=I ist ist B gleichzeitig die inverse Matrix A^(-1).
Das war ja die eigentliche Aufgabenstellung.a
Also habe ich jetzt am Schluss folgendes da stehen:
[mm] AB*(1+x^T*x) [/mm] = [mm] I*(1+x^T*x)+(x*x^T)(x^T*x)-(x^T*x)(x^T*x)
[/mm]
der hintere Teil fällt weg:
[mm] AB*(1+x^T*x) [/mm] = [mm] I*(1+x^T*x)
[/mm]
dann noch durch [mm] (1+x^T*x) [/mm] und am Ende steht
AB=I
> Ich habs nicht geschafft, weil du im ersten post ein [mm]\pi[/mm]
> anstelle [mm]\pi^{2}[/mm] getippt hast.
Wahrscheinlich habe ich am Anfang "²" statt "^2" geschrieben und deswegen stands nicht da. Passiert mir öfters^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:04 Mo 20.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja, aber wenn du annimst A*B = I und zeigst dass es auf beiden Seiten Null gibt ist das auch ein Beweis.
Gruss
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