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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Mo 10.12.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 und seien A,B [mm] \in M(nxn,\IK), [/mm] zwei invertierbare Matrizen. Zeigen Sie, dass dann AB und BA das gleiche charakteristische Polynom haben. |
Hab mir folgendes gedacht:
[mm] p_{AB}(\lambda)=det(AB-\lambda E_{n})=det(BA -\lambda E_{n})=p_{BA}(\lambda)
[/mm]
also müsste ich beweisen, dass gilt: AB=BA
aber wenn ich das mit [mm] (AB)^{-1} [/mm] multipliziere komme ich einfach nicht weiter, weil ich dann folgendes erhalte:
[mm] E_{n}=BA(AB)^{-1}=BAB^{-1}A^{-1}
[/mm]
Diese gleichung ist aber nur erfüllt, falls B=A gilt... aber das tut es ja nicht unbedingt...
Variante 2:
Hab mir überlegt, dass ich ja auch von folgendem Ansatz aus starten könnte:
[mm] det(AB-\lambda E_{n})-det(BA-\lambda E_{n})=0
[/mm]
Aber da fällt mir kein rechengesetz für determinaten ein, was mir weiterhelfen würde :(
Bin ich da auf dem richtigen weg? Würde mich über tipps wirklich freuen ;)
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> Sei n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 1 und seien A,B [mm]\in M(nxn,\IK),[/mm]
> zwei invertierbare Matrizen. Zeigen Sie, dass dann AB und
> BA das gleiche charakteristische Polynom haben.
Hallo,
der rechte Weg führt hier über die Ähnlichkeit.
Es ist ja
[mm] AB=B^{-1}(BA)B.
[/mm]
Man erhält
AB - [mm] \lambda E=B^{-1}(BA)B-\lambda E=B^{-1}(BA-\lambda [/mm] E)B.
Es sind [mm] AB-\lambda [/mm] E und [mm] BA-\lambda [/mm] E also ähnlich, und nun mußt Du ausreizen, was Du über die Determinanten ähnlicher Matrizen weißt.
Gruß v. Angela
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