Matrixdarst./versch. Basen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
| Aufgabe | in R2 ist die Standardbasis gegeben und Basis B mit
b1=(1, -1) und
b2=(3,1).
Sei G: R2->R2 die durch
G(b1)=(5,-10) und
G(b2)=(3,-6)
definierte Lineare Abb..
1.
Berechne die Matrixdarst. [mm] _Bid_B, _Eid_B [/mm] und [mm] _Bid_E
[/mm]
(B und E sind hier tiefgestellt)
2.
Berechne die Matrixdarst. [mm] _EG_B, _EG_E [/mm] und [mm] _BG_E
[/mm]
(B und E sind hier tiefgestellt) |
Hallo! :)
Ich denke [mm] _Bid_B [/mm] ist einfach die Matrix mit den B-Basisvektoren als Spalten, also 2x2.
[mm] _Eid_B [/mm] ist die Matrix, die von E nach B "umrechnet" (so stell ich mir das vor). Ich schaue, wie die Standardbasis durch die neuen B-Vektoren darstellbar ist und erhalte wieder eine 2x2_Matrix.
Frage nun:
[mm] _Bid_E [/mm] rechnet doch die identosche Abbildugn von Basis B auf Basis E um. Wie geht das? Habe das wie bei [mm] _Eid_B [/mm] gemacht, nur die E-Vektoren gegen die B-Vektoren vertauscht. Da kommt Unsinn raus, denn...ja warum eigentlich?! Hm.
Was bedeutet das denn alles?
zu 2.:
Da habe ich leider keine Vorstellung, was das überhaupt bedeuten soll.
Wäre dankbar für wasserdichte und idiotensichere Schilderungen. Ich sollte das morgen anwenden können...:/
Grüße und danke!!
schumann
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Ich habe diese Frage nur hier gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
die Darstellung ist falsch.
alle nach dem Muster
E(tiegestellt)id(normal)B(tiefgestellt)
usw....Sorry!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
ist B id E gleich der INversen von E id B ?
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> ist B id E gleich der INversen von E id B ?
Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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> in R2 ist die Standardbasis gegeben und Basis B mit
>
> b1=(1, -1) und
> b2=(3,1).
>
> Sei G: R2->R2 die durch
>
> G(b1)=(5,-10) und
> G(b2)=(3,-6)
>
> definierte Lineare Abb..
>
> 1.
> Berechne die Matrixdarst. [mm]_Bid_B, _Eid_B[/mm] und [mm]_Bid_E[/mm]
> (B und E sind hier tiefgestellt)
>
> 2.
> Berechne die Matrixdarst. [mm]_EG_B, _EG_E[/mm] und [mm]_BG_E[/mm]
> (B und E sind hier tiefgestellt)
> Hallo! :)
>
> Ich denke [mm]_Bid_B[/mm] ist einfach die Matrix mit den
> B-Basisvektoren als Spalten, also 2x2.
Hallo,
nein, [mm] _Bid_B [/mm] ist die Einheitsmatrix.
Warum? Sie rechnet Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl. B gegeben sind, in solche bzgl. B um - verändert also nichts.
>
> [mm]_Eid_B[/mm] ist die Matrix, die von E nach B "umrechnet" (so
> stell ich mir das vor).
Umgekehrt. Man füttert sie mit vektoren in Koordinaten bzgl B, und sie liefert dieselben Vektoren - allerdings in Koordinaten bzgl. E.
In ihren Spalten enthält sie die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. E.
Diese Matrix ist also sehr einfach aufzustellen.
> Ich schaue, wie die Standardbasis
> durch die neuen B-Vektoren darstellbar ist und erhalte
> wieder eine 2x2_Matrix.
Umgekehrt. Du stellst die B-Vektoren in Koordinaten bzgl. E dar.
(Rechts steht immer, womit man die matrix füttert, und links, was hinten rauskommt.)
>
> Frage nun:
> [mm]_Bid_E[/mm] rechnet doch die identosche Abbildugn von Basis B
> auf Basis E um.
Umgekehrt.
Invertiere dazu die Matrix von oben,
oder stell die Standardeinheitsvektoren als Linearkombination der [mm] b_i [/mm] dar.
> zu 2.:
> Da habe ich leider keine Vorstellung, was das überhaupt
> bedeuten soll.
Hier geht es um die darstellenden Matrizen der gegebenen Abbildung .
[mm] _EG_B [/mm] liefert das Bild von Koordinatenvektoren bzgl B unter der Abbildung G in Koordinaten bzgl. E.
Die die Spalten dieser Matrix sind die Bilder von [mm] b_i [/mm] unter G in Standardkoordinaten.
Du kannst sie aus den Angaben oben also leicht aufstellen.
[mm] _EG_E [/mm] ist die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis.
In den Spalten stehen die Bilder der Standardeinheitsvektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis.
Du rechnest die Spalten entweder unter verwendung der Linearität von G aus, oder Du machst es wie folgt: [mm] _EG_E=_EG_B*_Bid_E.
[/mm]
(Bei dieser schlauen Notation kann man fast nichts falsch machen. Immer müssen gleiche Basen aneinanderstoßen beim Multiplizieren.)
[mm]_BG_E[/mm] kannst Du Dir nun allein überlegen.
>
> Wäre dankbar für wasserdichte und idiotensichere
> Schilderungen. Ich sollte das morgen anwenden können...:/
Da Du Dich so zeitig drum kümmerst, kann das ja gar kein Problem werden...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Do 17.12.2009 | | Autor: | schumann |
Hallo Angela, hier spricht der erste Vorsitzende deines Fanclubs. viele jener threads, die ich gelesen habe, hast Du beantwortet. :) Beeindruckend, sowohl als auch (sozial wie fachlich). Das war die Ausformulierung für "Danke." :)
Ich hab genaugenommen bis übermorgen Zeit. Ich schaue mir das, was Du geschrieben hast, jetzt in Ruhe nochmal an und versuche es anzuwenden.
Ich hab noch 20000 andere Fragen - bis bald (hoffentlich!) :)
Grüße
schumann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
> $ [mm] _Eid_B [/mm] $ ist die Matrix, die von E nach B "umrechnet" (so
> stell ich mir das vor).
Umgekehrt. Man füttert sie mit vektoren in Koordinaten bzgl B, und sie liefert dieselben Vektoren - allerdings in Koordinaten bzgl. E.
In ihren Spalten enthält sie die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. E.
Diese Matrix ist also sehr einfach aufzustellen.
Frage:
Muss ich also schauen, wie ich mit meinen Einheitsvekoren die B-Basisvektoren zusammenbauen? das sind doch ebenjene Vektoren b1 b2, denn die Vektoren, die eine Basis bilden, egal welche, sind doch bzgl der Standardbasis formuliert, oder?
Bei mir steht jetzt
(1,-1) = x1*(1,0) + x2*(0,1) mit x1=1 und x2=-1.
Das ist doch unsinnig im Bezug auf die aufgabe, oder??
Daher habe ich den Verdacht, ich muss es andersherum machen,
also
(1,0) = x1*(1,-1) + x2*(3,1) und
(0,1) = x1*(1,-1) + x2*(3,1)
.
Die 4 Werte ergeben die Spaltenvektiren für die gesuchte id-Matrix. stimmt'S? Wenn ja: WARUM?
Sorry für die Begriffsstutzigkeit meinerseits
und danke für Hilfe!
schumann
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> > [mm]_Eid_B[/mm]
>
> Man füttert sie mit vektoren in Koordinaten
> bzgl B, und sie liefert dieselben Vektoren - allerdings in
> Koordinaten bzgl. E.
> In ihren Spalten enthält sie die Basisvektoren von B in
> Koordinaten bzgl. E.
> Diese Matrix ist also sehr einfach aufzustellen.
>
> Frage:
> Muss ich also schauen, wie ich mit meinen Einheitsvekoren
> die B-Basisvektoren zusammenbauen?
Ja. Aber das ist nicht schwer.
Der erste Basisvektor von B in Koordinaten bzgl E ist [mm] \vektor{1\\-1},
[/mm]
der zweite von B in Koordinaten bzgl E ist [mm] \vektor{3\\1}.
[/mm]
Das sin die Spalten der gesuchten Matrix.
das sind doch ebenjene
> Vektoren b1 b2, denn die Vektoren, die eine Basis bilden,
> egal welche, sind doch bzgl der Standardbasis formuliert,
> oder?
>
> Bei mir steht jetzt
>
> (1,-1) = x1*(1,0) + x2*(0,1) mit x1=1 und x2=-1.
>
> Das ist doch unsinnig im Bezug auf die aufgabe, oder??
Es ist völlig richtig. Es ist [mm] \vektor{1\\-1}_{(E)}=\vektor{1\\0}_{(B)}.
[/mm]
>
> Daher habe ich den Verdacht, ich muss es andersherum
> machen,
>
> also
>
> (1,0) = x1*(1,-1) + x2*(3,1) und
> (0,1) = x1*(1,-1) + x2*(3,1)
Du wirst nun gleich die Matrix [mm] _Bid_E [/mm] dastehen haben.
Zum Test kannst Du die von oben invertieren.
Du kannst nun, wenn Du etwas Zeit hast, ausprobieren, wie diese hier Dir Vektoren bzgl E in solche bzgl B umwandelt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Ich habe jetzt mal in die Lösung geschaut. Kurioserweise
sthet da:
[mm] _Eid_B=\pmat{ 1 & 3 \\ -1 & 1 }
[/mm]
und für
[mm] _Bid_E=\pmat{ 1/4 & -3/4 \\ 1/4 & 1/4 }.
[/mm]
Lt. Deiner Schilderungen, wenn ich sie richtig angewendet habe, habe ich da verkehrt herum heruas bzgl. meiner Lösung 8es geht hier um ne alte Klausur.)
Bei [mm] _Eid_B [/mm] habe ich doe Lösung von [mm] _Bid_E [/mm] und andersherum.
Wo liegt der Fehler? Gibt es keien Konvention darüber?
Im Skript steht das hier:
[img]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Ich habe jetzt mal in die Lösung geschaut. Kurioserweise
>
> sthet da:
>
> [mm]_Eid_B=\pmat{ 1 & 3 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> und für
>
> [mm]_Bid_E=\pmat{ 1/4 & -3/4 \\ 1/4 & 1/4 }.[/mm]
>
> Lt. Deiner Schilderungen, wenn ich sie richtig angewendet
> habe, habe ich da verkehrt herum heruas bzgl. meiner
> Lösung 8es geht hier um ne alte Klausur.)
Hallo,
ich bin mit der hier vorliegenden Musterlösung zufrieden, und ich meine, daß auch mein Reden bzw. Schreiben dazu paßt:
in den Spalten der Matrix [mm] _Eid_B [/mm] stehen die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl E,
und diese Matrix ist die, die Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, umwandelt in solche bzgl. E.
In den Spalten von [mm] _Bid_E [/mm] die Basisvektoren von E in Koordinaten bzgl. B.
und diese Matrix ist die, die Vektoren, die in Koordinaten bzgl E gegeben sind, umwandelt in solche bzgl. B.
>
> Bei [mm]_Eid_B[/mm] habe ich doe Lösung von [mm]_Bid_E[/mm] und
> andersherum.
>
> Wo liegt der Fehler? Gibt es keien Konvention darüber?
Wenn die Notation so ist wie bei Euch, ist das gemeint, was ich hier sage, ich hab's eigentlich nie anders gesehen.
>
> Im Skript steht das hier:
> [img]
Ich seh's nicht, aber es ist auch fraglich, ob Du es hier hochladen darfst. (Urheberrecht.)
Aber ich bin mir mit der Mustelösung ja schonmal einig.
Jetzt probieren wir die Matrix [mm] _Eid_B=\pmat{ 1 & 3 \\ -1 & 1 } [/mm] mal aus:
ich füttere sie mit v:= [mm] 2b_1+5b_2=\vektor{2\\5}_{(B)}.
[/mm]
[mm] \pmat{1&3\\-1&1}*\vektor{2\\5}=\vektor{17\\3}_{(E)}. [/mm] Stimmt!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Hallo Angela,
1000 Dank für die Hilfe!
Ich habe ja Gott sei Dank geschrieben, "wenn ich Deine Schilderung richtig verstanden habe." Das habe ich offensichtlich nciht bis zur letzten Frage.
Es ist natürl. richtig, was Du geschrieben hast.
Ich will das irgendwie immer anders herum machen.
[mm] _Eid_B [/mm] bekommt Koord. bzgl. B und gibt selbige Koordinaten bzgl. E. "Deswegen" (was ja offensichtlich bzgl. der Musterlösungen hier falsch ist) will ich immer die Einheitsbasis-vektoren als Lin.komb. der B-BasisVektoren darstellen.
Ich kanns mir nciht vorstellen, merke mir jetzt aber einfach, dass ich das Gegenteil nehmen muss.
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