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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Hey, beschäftige mich gerade mit Lineare Algebra 2 und habe Probleme die Aufgaben zu lösen. Würde mich auf eure Hinweise und Tipp´s sehr freuen.
sei [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IZ^{nx1} \to \IZ^{mx1} [/mm] ein [mm] \IZ-Modulhomomorphismus. [/mm]
Zeige:
1) Es existiert genau eine Matrix [mm] A\in \IZ^{mxn}, [/mm] sodass [mm] \gamma(v) [/mm] = Av für alle v [mm] \in\IZ^{nx1}. [/mm] Sei ab hier n=m.
2) [mm] \gamma [/mm] injektiv [mm] \gdw [/mm] det [mm] A\not=0. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 So 19.10.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Kann mir denn keiner weiterhelfen? :-/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
für Basen [mm] $\{\xi_1,\dots, \xi_n\}$ [/mm] von [mm] $\IZ^n$ [/mm] und [mm] $\{\eta_1,\dots, \eta_m\}$ [/mm] von [mm] $\IZ^m$ [/mm] existieren [mm] $a_{ij} \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $\gamma(\xi_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij} \eta_i$, $j=1,\dots, [/mm] n$ (wieso?)
Zeige:
i. [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] ist eindeutig.
ii. Es gilt $ [mm] \gamma(v) [/mm] = Av $ [mm] $\forall [/mm] v [mm] \in\IZ^{n}. [/mm] $
Bei Aufgabenteil 2 hilft der Satz: det(A)=0 genau dann, wenn die Spalten(bzw. Zeilen)Vektoren von A linear abhängig sind.
Liebe Grüße
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