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Schönen guten Tag!
Sitzt hier schon eine Weile vor dieser Aufgabe, aber ich hab keinen Schimmer, wie ich überhaupt anfangen soll. Danke im Voraus. MfG Simon
Gegeben sei eine lineare Abbildung f. Bestimme die Matrixdarstellung
bezüglich der angegebenen Basis. Bestimme auch den Rang der gewonnen
Matrix A und den Kern von A. Übreprüfen Sie das Ergebnis mit der
Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
Basis des Ausgangsraumes sei die kanonische Basis. Der Bildraum
ist der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 3 mit der
Basis (1; x; x²; x³) über R
f : R4 -> [1, x, x², x³] (sollen spitze Klammern sein)
(a,b,c,d) -> (5ax² - 2cx³ + bx + 3dx(x² - 1))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 So 28.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Simon?
Hast du schon mal in einem LA-Buch nach einem Beispiel von so einer Aufgabe gesucht? Ich könnte mir nämlich vorstellen, dass da so etwas drin steht. Vielleicht nicht in jedem, aber in einem, wo ein paar Beispiele drin stehen bestimmt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:39 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Supernuss!
> Gegeben sei eine lineare Abbildung f. Bestimme die
> Matrixdarstellung
> bezüglich der angegebenen Basis. Bestimme auch den Rang
> der gewonnen
> Matrix A und den Kern von A. Übreprüfen Sie das Ergebnis
> mit der
> Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
> Basis des Ausgangsraumes sei die kanonische Basis. Der
> Bildraum
> ist der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 3
> mit der
> Basis (1; x; x²; x³) über R
> f : R4 -> [1, x, x², x³] (sollen spitze
> Klammern sein)
> (a,b,c,d) -> (5ax² - 2cx³ + bx + 3dx(x² - 1))
Ich weiß nicht, ob die Aufgabe noch für dich interessant ist, deswegen erst mal nur kurz und mehr auf Nachfrage.
In der gesuchten Matrix stehen gerade die Bilder der Basisvektoren des Ausgangsraumes.
Diese solltest du also zunächst einmal berechnen:
f((1,0,0,0))=...
f((0,1,0,0))=...
f((0,0,1,0))=...
f((0,0,0,1))=...
Ich mache es mal für den ersten Basisvektor vor:
[mm] $f((1,0,0,0))=5x^2=0*1+0*x+5*x^2+0*x^2=(0,0,5,0)_P$ [/mm] (der letzte Vektor mit dem Index P ist der Vektor [mm] 5x^2 [/mm] geschrieben als Komponentenvektor zur Basis [mm] $\{1,x,x^2,x^3\}$)
[/mm]
Also lautet die erste Spalte der gesuchten Matrix: [mm] $\pmat{0&\cdot&\cdot&\cdot\\0&\cdot&\cdot&\cdot\\5&\cdot&\cdot&\cdot\\0&\cdot&\cdot&\cdot}$
[/mm]
Auf diese Weise erhältst du also die komplette [mm] $4\times4$-Matrix.
[/mm]
Für die Rangbestimmung hast du mehrere Möglichkeiten:
Der Rang ist ja die maximale Anzahl linear unabhänger Spaltenvektoren der Matrix. Wenn alle Spaltenvektoren so dünn besetzt sind wie der erste Spaltenvektoren kannst du diese Zahl vielleicht direkt erkennen.
Eine weitere Möglichkeit ist, diese Matrix als Koeffizientenmatrix eines LGS aufzufassen und dieses mit dem Gauss-Vaerfahren auf Dreiecksgestalt zu bringen. Die Anzahl der Zeilen, die mindestens einen von Null verschiedenen Eintrag haben, ist dann der Rang.
Wenn du den Verdacht hast, dass die Matrix vollen Rang hat (also Rang 4) und die Matrix dünn besetzt ist, könntest du auch zeigen, dass die Determinate ungleich Null ist.
Für die Bestimmung des Kerns löst du einfach das homogene LGS $A*x=0$. Der Lösungsraum ist gerade der Kern.
Viele Grüße,
Marc
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