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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] \beta: [/mm] V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] eine Bilinearform auf einen n dimensionalen [mm] \IK- [/mm] Vektorraum V . Ist B [mm] =(b_1,..,b_n) [/mm] eine geordnete Basis von V, dann wird die Matrix [mm] [\beta]_B \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
[mm] ([\beta]_B)_{ij} [/mm] := [mm] \beta(b_i,b_j) [/mm] , 1 <= i,j<=n
als Matrixdarstellung von [mm] \beta [/mm] bezüglich der Basis B bezeichnet
Zeige die zuordnung [mm] \beta [/mm] -> [mm] [\beta]_B [/mm] ist linear, d.h. für Bilinearformen [mm] \beta, \beta_1 [/mm] , [mm] \beta_2 [/mm] auf V und [mm] \lambda \in \IK [/mm] gilt
[mm] [\beta_1 [/mm] + [mm] \beta_2 ]_B [/mm] = [mm] [\beta_1 ]_B [/mm] + [mm] [\beta_2]_B [/mm] und [mm] [\lambda \beta]_B [/mm] = [mm] \lambda [\beta]_B [/mm] |
[mm] ([\beta_1 [/mm] + [mm] \beta_2]_B)_{ij} [/mm] = [mm] (\beta_1 [/mm] + [mm] \beta_2) (b_i [/mm] , [mm] b_j)
[/mm]
[mm] ([\beta_1]_B)_{ij} [/mm] + [mm] ([\beta_2]_B)_{ij} [/mm] = [mm] \beta_1 (b_i [/mm] , [mm] b_j) [/mm] + [mm] \beta_2 (b_i [/mm] , [mm] b_j)
[/mm]
Wieso sollte nun aber gelten ( [mm] \beta_1 [/mm] + [mm] \beta_2) (b_i [/mm] , [mm] b_j) =\beta_1 (b_i [/mm] , [mm] b_j) [/mm] + [mm] \beta_2 [/mm] ( [mm] b_i [/mm] , [mm] b_j)
[/mm]
Ich dachte Billinearformen sind nur linear in ihren beiden argumenten?
Liebe Grüße
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> Sei [mm]\beta:[/mm] V [mm]\times[/mm] V -> [mm]\IK[/mm] eine Bilinearform auf einen n
> dimensionalen [mm]\IK-[/mm] Vektorraum V . Ist B [mm]=(b_1,..,b_n)[/mm] eine
> geordnete Basis von V, dann wird die Matrix [mm][\beta]_B \in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
>
> [mm]([\beta]_B)_{ij}[/mm] := [mm]\beta(b_i,b_j)[/mm] , 1 <= i,j<=n
> als Matrixdarstellung von [mm]\beta[/mm] bezüglich der Basis B
> bezeichnet
>
> Zeige die zuordnung [mm]\beta[/mm] -> [mm][\beta]_B[/mm] ist linear, d.h.
> für Bilinearformen [mm]\beta, \beta_1[/mm] , [mm]\beta_2[/mm] auf V und
> [mm]\lambda \in \IK[/mm] gilt
> [mm][\beta_1[/mm] + [mm]\beta_2 ]_B[/mm] = [mm][\beta_1 ]_B[/mm] + [mm][\beta_2]_B[/mm] und
> [mm][\lambda \beta]_B[/mm] = [mm]\lambda [\beta]_B[/mm]
> [mm]([\beta_1[/mm] +
> [mm]\beta_2]_B)_{ij}[/mm] = [mm](\beta_1[/mm] + [mm]\beta_2) (b_i[/mm] , [mm]b_j)[/mm]
>
> [mm]([\beta_1]_B)_{ij}[/mm] + [mm]([\beta_2]_B)_{ij}[/mm] = [mm]\beta_1 (b_i[/mm] ,
> [mm]b_j)[/mm] + [mm]\beta_2 (b_i[/mm] , [mm]b_j)[/mm]
>
>
> Wieso sollte nun aber gelten ( [mm]\beta_1[/mm] + [mm]\beta_2) (b_i[/mm] ,
> [mm]b_j) =\beta_1 (b_i[/mm] , [mm]b_j)[/mm] + [mm]\beta_2[/mm] ( [mm]b_i[/mm] , [mm]b_j)[/mm]
> Ich dachte Billinearformen sind nur linear in ihren beiden
> argumenten?
Hallo,
damit hat das nichts zu tun. [mm] \beta_1 [/mm] und [mm] \beta_2 [/mm] sind Abbildungen, und nun erinnere Dich, wie die Summe von Abbildungen definiert ist: (f+g)(x):=f(x)+g(x).
LG Angela
>
> Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Sa 29.09.2012 | | Autor: | quasimo |
ah okay ;)
Ich danke dir für deinen Post.
LG,
quasimo
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