Matrixdarstellung bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Syny |
| Aufgabe | Gegeben sei der Vektorraum [mm] R^3 [/mm] mit derkanonischen Basis E3 und der Basis B={b1,b2,b3} mit b1 = (2,0,1)T ,b2 = (1,0,1)T und b3 = (0,1,2)T. die lineare Abbildung [mm] L:R^3 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] sei gegeben durch
L [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] = [mm] \pmat{ 2y & 3z \\ x & -y \\ 3x & 4y & -2z }
[/mm]
i) Bestimmen sie die Matrixdarstellungen E3 nach E3 mit der abbildungsvorschrift L und von B nach B mit der abbildungsvorschrift L.
ii) Stellen sie L(2b1 - 3*b3) |
Hallo Leute,
ich würde gerne wissen ob ich diese Aufgabe richtig bearbeitet habe.
Ich habe immer die Basis genommen und dann die Matrix davon aufgestellt, und spaltenweise die Abbildungsvorschrift durchgeführt. Bin dann bei E3 -> E3
auf die selbe Matrix wie in der Abbildungsvorschrift gekommen.
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 1&-1& 0 \\ 3 & 4 & -2 }
[/mm]
Bei B -> B habe ich die Matrix
[mm] \pmat{ 3 & 3 & 8 \\ 2&1& -1 \\ 4 & 1 & 0 }
[/mm]
bei der ii)
würde mich die vorgehensweise interessieren habe mir das so gedacht ich ziehe zuerst die vielfachen der vektoren von einander ab und stelle sie dann eben mit der Basis L dar. Danach schreibe ich die Matrix der Abbildungsvorschrift links und den berechneten vektor rechts in ein lgs und versuche dann links in die standartbasis umzurechnen. Das Ergebnis wäre dann der Vektor rechts. Stimmt das soweit oder gibt es da ein anderes Verfahren?
Mfg Syny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei der Vektorraum [mm]R^3[/mm] mit derkanonischen Basis E3
> und der Basis B={b1,b2,b3} mit b1 = (2,0,1)T ,b2 = (1,0,1)T
> und b3 = (0,1,2)T. die lineare Abbildung [mm]L:R^3[/mm] -> [mm]R^3[/mm] sei
> gegeben durch
>
> L [mm]\vektor{x \\ y\\z}[/mm] = [mm]\pmat{ 2y & 3z \\ x & -y \\ 3x & 4y & -2z }[/mm]
Hä ? Rechts steht eine Matrix !!
Es lautet wohl so:
[mm] L(\vektor{x \\ y\\z})=\vektor{2y+z \\ x-y\\3x+4y-2z}
[/mm]
>
> i) Bestimmen sie die Matrixdarstellungen E3 nach E3 mit der
> abbildungsvorschrift L und von B nach B mit der
> abbildungsvorschrift L.
>
> ii) Stellen sie L(2b1 - 3*b3)
Ja, was ???
> Hallo Leute,
>
> ich würde gerne wissen ob ich diese Aufgabe richtig
> bearbeitet habe.
> Ich habe immer die Basis genommen und dann die Matrix
> davon aufgestellt, und spaltenweise die
> Abbildungsvorschrift durchgeführt. Bin dann bei E3 -> E3
> auf die selbe Matrix wie in der Abbildungsvorschrift
> gekommen.
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 1&-1& 0 \\ 3 & 4 & -2 }[/mm]
ja, das stimmt.
> Bei B -> B
> habe ich die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 3 & 3 & 8 \\ 2&1& -1 \\ 4 & 1 & 0 }[/mm]
Das stimmt nicht. Du hast "B [mm] \to [/mm] E3" berechnet !
> bei der ii)
> würde mich die vorgehensweise interessieren habe mir das
> so gedacht ich ziehe zuerst die vielfachen der vektoren von
> einander ab und stelle sie dann eben mit der Basis L dar.
> Danach schreibe ich die Matrix der Abbildungsvorschrift
> links und den berechneten vektor rechts in ein lgs und
> versuche dann links in die standartbasis umzurechnen. Das
> Ergebnis wäre dann der Vektor rechts. Stimmt das soweit
> oder gibt es da ein anderes Verfahren?
Beantworte erstmal die Frage: Was sollst Du bei ii) genau tun ?
FRED
>
> Mfg Syny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Syny |
> > Gegeben sei der Vektorraum [mm]R^3[/mm] mit derkanonischen Basis E3
> > und der Basis B={b1,b2,b3} mit b1 = (2,0,1)T ,b2 = (1,0,1)T
> > und b3 = (0,1,2)T. die lineare Abbildung [mm]L:R^3[/mm] -> [mm]R^3[/mm] sei
> > gegeben durch
> >
> > L [mm]\vektor{x \\ y\\z}[/mm] = [mm]\pmat{ 2y & 3z \\ x & -y \\ 3x & 4y & -2z }[/mm]
>
> Hä ? Rechts steht eine Matrix !!
>
> Es lautet wohl so:
>
> [mm]L(\vektor{x \\ y\\z})=\vektor{2y+z \\ x-y\\3x+4y-2z}[/mm]
>
Ja hast du Recht.
>
> >
> > i) Bestimmen sie die Matrixdarstellungen E3 nach E3 mit der
> > abbildungsvorschrift L und von B nach B mit der
> > abbildungsvorschrift L.
> >
> > ii) Stellen sie L(2b1 - 3*b3)
>
>
> Ja, was ???
>
Ups die Aufgabe lautet "Stellen Sie L(2b1 - 3b3) bezüglich der kanonischen Basis E3 dar."
>
>
>
> > Hallo Leute,
> >
> > ich würde gerne wissen ob ich diese Aufgabe richtig
> > bearbeitet habe.
> > Ich habe immer die Basis genommen und dann die Matrix
> > davon aufgestellt, und spaltenweise die
> > Abbildungsvorschrift durchgeführt. Bin dann bei E3 -> E3
> > auf die selbe Matrix wie in der Abbildungsvorschrift
> > gekommen.
> > [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 1&-1& 0 \\ 3 & 4 & -2 }[/mm]
>
> ja, das stimmt.
>
>
> > Bei B -> B
> > habe ich die Matrix
> >
> > [mm]\pmat{ 3 & 3 & 8 \\ 2&1& -1 \\ 4 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Du hast "B [mm]\to[/mm] E3" berechnet !
>
Okay, ich habe das mit dem Basiswechseln noch nicht so gut drauf wie berechne ich das denn von B nach B ich brauche doch irgendeine Abbildungsvorschrift deswegen dachte ich da B ja ebenfalls im [mm] R^3 [/mm] ist das diese dann so dort auch gilt wobei wenn ich genau drüber nachdenke macht das schon sinn das es dann in das E3 geht. Muss ich dann noch die von E3 nach B berechnen ? und wie geht es dann weiter ?
>
> > bei der ii)
> > würde mich die vorgehensweise interessieren habe mir
> das
> > so gedacht ich ziehe zuerst die vielfachen der vektoren von
> > einander ab und stelle sie dann eben mit der Basis L dar.
> > Danach schreibe ich die Matrix der Abbildungsvorschrift
> > links und den berechneten vektor rechts in ein lgs und
> > versuche dann links in die standartbasis umzurechnen. Das
> > Ergebnis wäre dann der Vektor rechts. Stimmt das soweit
> > oder gibt es da ein anderes Verfahren?
>
> Beantworte erstmal die Frage: Was sollst Du bei ii) genau
> tun ?
siehe oben habe da wohl etwas vergessen aufzuschreiben
Mfg Syny
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> > > Gegeben sei der Vektorraum [mm]R^3[/mm] mit derkanonischen Basis E3
> > > und der Basis B={b1,b2,b3} mit b1 = (2,0,1)T ,b2 = (1,0,1)T
> > > und b3 = (0,1,2)T. die lineare Abbildung [mm]L:R^3[/mm] -> [mm]R^3[/mm] sei
> > > gegeben durch
> >
> > [mm]L(\vektor{x \\ y\\z})=\vektor{2y+3z \\ x-y\\3x+4y-2z}[/mm]
> "Stellen Sie L(2b1 - 3b3)
> bezüglich der kanonischen Basis E3 dar."
> >
> > > [mm] L_{E_3}=[/mm] [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 \\ 1&-1& 0 \\ 3 & 4 & -2 }[/mm]
> > > Bei B -> B
> > > habe ich die Matrix
> > >
> > > [mm]\pmat{ 3 & 3 & 8 \\ 2&1& -1 \\ 4 & 1 & 0 }[/mm]
> >
> > Das stimmt nicht. Du hast "B [mm]\to[/mm] E3" berechnet !
> >
> Okay, ich habe das mit dem Basiswechseln noch nicht so gut
> drauf wie berechne ich das denn von B nach B
Hallo,
Sprüchlein zum Merken:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen B im Start- und C im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C."
Du mußt also die Bilder der [mm] b_i [/mm] berechnen, und diese dann in Koordinaten bzgl B schreiben. Nicht in Koordinaten bzgl [mm] E_3.
[/mm]
> > > bei der ii)
> > > würde mich die vorgehensweise interessieren habe
> mir
> > das
> > > so gedacht ich ziehe zuerst die vielfachen der vektoren von
> > > einander ab und stelle sie dann eben mit der Basis L dar.
???
L ist doch eine Abbildung.
> > > Danach schreibe ich die Matrix der Abbildungsvorschrift
> > > links und den berechneten vektor rechts in ein lgs und
> > > versuche dann links in die standartbasis umzurechnen. Das
> > > Ergebnis wäre dann der Vektor rechts. Stimmt das soweit
> > > oder gibt es da ein anderes Verfahren?
Wenn Du statt die Rechengeschichte zu erzählen einfach mal vormachen würdest, was Du tust, könnte man leichter etwas dazu sagen.
Es ist doch lediglich [mm] L(2b_1-3b_3) [/mm] zu berechnen - oder ist mir etwas entgangen?
Du hast drei Möglichkeiten:
A.
Berechne [mm] 2b_1-3b_3 [/mm] und setze dies in die Abbildungsvorschrift ein.
B.
Berechne [mm] 2b_1-3b_3 [/mm] und multipliziere mit [mm] L_{E_1}
[/mm]
C.
Multipliziere [mm] L_{B} [/mm] mit [mm] \vektor{2\\0\\-3} [/mm] und wandle das Ergebnis, welches ja ein Koordinatenvektor bzgl B ist, in Koordinaten bzgl. [mm] E_3 [/mm] um.
Bei allen Vorgehensweisen muß dasselbe herauskommen.
LG Angela
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