Matrixdarstellung bestimmen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben sie eine Matrixdarstellung fär die Abbildung [mm] \alpha [/mm] mit dem Fixpunkt 0 an.
[mm] \alpha [/mm] ist die Spiegelung an der Geraden [mm] g:\vec{x}=t*\vektor{2 \\ 1} [/mm] |
Hallo,
bei der aufgabe weiss ich leider nicht so recht weiter. also ich habe versucht die gerade in die allgemeine formel der matrixdarstellung zu sezten wobei ich dann dem entsprechend viel zu viele unbekannte variablen hatte. Im Buch steht etwas mit dem winkel zwischen der gerade und der x-achse aber das ist ziemlich kompliziert geschrieben.
wäre nett wenn mir jemand diese aufgabe erklären könnte.
danke schon mal im voraus.
lg
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Hallo!
Da ich nicht weiß, wie weit ihr mit den verschiedenen Themen schon seid, hier mal eine Variante, die mit Wissen um die Darstellungsmatrizen und lineare Abbildungen verständlich sein sollte:
Bedenke, dass auch eine Spiegelung eine lineare Abbildung ist, sie hat also eine Darstellungsmatrix und insbesondere kann ich diese Darstellungsmatrix ganz einfach konstruieren, wenn ich die Bilder der Basisvektoren (hier [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] ) kenne.
Wir müssen also nur herausbekommen, wohin [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] an der Geraden gespiegelt werden. Da das jetzt ohne weiteres Zeichnen und mit Winkeln nicht geht, gehen wir etwas anders vor:
Wir wissen, dass der Vektor [mm] \vektor{2\\1} [/mm] , der auf der Geraden liegt, logischerweise "zu sich selbst" gespiegelt wird, das Bild von [mm] \vektor{2\\1} [/mm] dieser Abbildung ist also wieder [mm] \vektor{2\\1}.
[/mm]
Nun brauchen wir nur noch einen anderen Vektor, dessen Bild wir kennen und der nicht [mm] \vektor{0\\0} [/mm] ist, und wir können mit Hilfe des Fakts, dass es ja um eine lineare Abbildung geht, die Bilder der Basisvektoren herausbekommen.
Dazu nehmen wir uns zum Beispiel das Schulwissen, dass jede Gerade mit dem Richtungsvektor [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] senkrecht zu der obigen Spiegelgeraden steht. Wenn wir jetzt vom Koordinatenursprung 0 ausgehen, wird also der Vektor [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] genau zu [mm] \vektor{-1\\2} [/mm] gespiegelt, weil sie beide auf der zur Spiegelgeraden senkrechten Geraden liegen und denselben Abstand zum Koordinatenursprung 0 haben.
Nun weißt du, dass deine gesuchte lineare Abbildung f folgende Vektoren zuordnet:
[mm] \vektor{1\\-2} \overset{f}{\to} \vektor{-1\\2}
[/mm]
[mm] \vektor{2\\1} \overset{f}{\to} \vektor{2\\1}
[/mm]
Wegen
[mm] f(\lambda*v+\mu*u) [/mm] = [mm] \lambda*f(u) [/mm] + [mm] \mu*f(v)
[/mm]
kannst du nun zum Beispiel schlussfolgern:
[mm] f\left(\vektor{5\\0}\right) [/mm] = [mm] f\left(\vektor{1\\-2}\right) [/mm] + [mm] 2*f\left(\vektor{2\\1}\right) [/mm] = [mm] \vektor{-1\\2} [/mm] + [mm] 2*\left(\vektor{2\\1}\right) [/mm] = [mm] \vektor{3\\4}
[/mm]
Und dann:
[mm] f\left(\vektor{1\\0}\right) [/mm] = [mm] f\left(\frac{1}{5}*\vektor{5\\0}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{5}*\vektor{3\\4} [/mm] = [mm] \vektor{\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}}
[/mm]
Und schon kennen wir das Bild des ersten Basisvektors und damit die erste Spalte der Darstellungsmatrix 
Nun finde das Bild des zweiten Basisvektors heraus!
Grüße,
Stefan
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erstmal vielen dank für die sehr sehr ausführliche erklärung! jetzt habe ich aber noch eine frage: hast du dir das [mm] f\vektor{5 \\ 0} [/mm] und [mm] f\vektor{1 \\ 0} [/mm] einfach so ausgedacht oder hat das eine bestimmte bedeutung? und was bedutet das u und das v in der formel? irgendwie blicke ich da noch nicht so ganz durch.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Fr 18.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Es wäre ganz gut, wenn Du mal schreibst, was Du als Stoff wissen solltest. Sagt Dir Basisvektor etwas?
Das Ziel ist, herauszufinden wohin der Punkt $ [mm] \vektor{1\\0} [/mm] $ gepiegelt wird.
Von den beiden anderen Punkten ist es bekannt. Die werden nun so mit zwei Vorfaktoren zusammenaddiert, dass sich für die zweite Koordinate 0 ergibt. Für die erste kommt dabei eben 5 heraus. Da man das Ergebnis für $ [mm] \vektor{1\\0} [/mm] $ haben will, teilt man noch mal durch 5.
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Hallo!
> jetzt habe ich aber noch eine frage: hast du
> dir das [mm]f\vektor{5 \\ 0}[/mm] und [mm]f\vektor{1 \\ 0}[/mm] einfach so
> ausgedacht oder hat das eine bestimmte bedeutung?
Das hat schon eine Bedeutung, nur hätte es eigentlich
[mm]f\left(\vektor{5 \\ 0}\right)[/mm]
also mit zwei Klammern, lauten müssen. Hier wird einfach das Bild der Abbildung f vom Vektor [mm] \vektor{5 \\ 0} [/mm] gebildet.
> und was
> bedutet das u und das v in der formel? irgendwie blicke ich
> da noch nicht so ganz durch.
Die Formel beschreibt die typische Eigenschaft der Linearität einer linearen Abbildung. u und v sollen dabei Vektoren sein, [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] sind Skalare. Du kennst ja die beiden Linearitätsregeln für eine lineare Abbildung f:
[mm] f(\lambda*u) [/mm] = [mm] \lambda*f(u)
[/mm]
f(u+v) = f(u) + f(v)
Zusammengefasst kommt man auf meine oben angegebene Formel, sozusagen in Kurzform
Grüße,
Stefan
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