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| Aufgabe | Finden Sie zwei reelle quadratische Matrizen A und B für die gilt:
exp(A+B) [mm] \not= [/mm] exp(A) * exp(B) |
Hallo zusammen,
wie muss ich bei dieser Aufgabe starten? Ich weiß, dass das Matrixexponential definiert ist als
exp(X) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{X^k}{k!}
[/mm]
mit X als relle quadratische Matrix.
Damit kann man die Ungleichung umschreiben:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \frac{A^k + B^k}{k!} \right) \not= \left( \summe_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \right) [/mm] * [mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \frac{B^k}{k!} \right)
[/mm]
Gibt es nun einen konkreten Algorithmus um zwei solche Matrizen zu finden oder wie muss ich hier vorgehen?
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir da weiterhelft.
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie zwei reelle quadratische Matrizen A und B für
> die gilt:
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> exp(A+B) [mm]\not=[/mm] exp(A) * exp(B)
> Hallo zusammen,
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> wie muss ich bei dieser Aufgabe starten? Ich weiß, dass
> das Matrixexponential definiert ist als
>
> exp(X) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{X^k}{k!}[/mm]
>
> mit X als relle quadratische Matrix.
>
> Damit kann man die Ungleichung umschreiben:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left( \frac{A^k + B^k}{k!} \right) \not= \left( \summe_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \right)[/mm]
> * [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \frac{B^k}{k!} \right)[/mm]
>
> Gibt es nun einen konkreten Algorithmus um zwei solche
> Matrizen zu finden oder wie muss ich hier vorgehen?
Von Hand ! Versuch mal mit 2x2 - Matrizen .
Zum Beispiel mit solchen für die gilt
[mm] A^2=0=B^2
[/mm]
FRED
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> Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir da weiterhelft.
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> Viele Grüße
> Patrick
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> Versuch mal mit 2x2 - Matrizen .
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> Zum Beispiel mit solchen für die gilt
>
> [mm]A^2=0=B^2[/mm]
Hallo Fred,
danke für den Tipp!
Ich habe jetzt gewählt:
A := [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und B := [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 0 & 0 }, [/mm] welche beide nilpotent vom Grad 2 sind.
Damit lässt sich das Matrixexponential ja jeweils schön als endliche Reihe darstellen.
Und damit ist exp(A+B) = [mm] \pmat{ 1 & e^{-1} \\ e & 1 } \not= \pmat{ 1+e^2 & e^{-1}+e \\ 2e & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & e \\ e & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & e^{-1} \\ e & 1 } [/mm] = exp(A) * exp(B)
Liege ich damit jetzt richtig?
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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