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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Matrixexponential
Matrixexponential < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrixexponential: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Di 13.11.2012
Autor: kalifat

Aufgabe
x'=-y-t

y'=x+t

x(0)=1, y(0)=0

Liege ich richtig in der Annahme, zuerst

exp(tA) mit [mm] A=\pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] zu bilden?

        
Bezug
Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 13.11.2012
Autor: MathePower

Hallo kalifat,

> x'=-y-t
>  
> y'=x+t
>  
> x(0)=1, y(0)=0
>  Liege ich richtig in der Annahme, zuerst
>  
> exp(tA) mit [mm]A=\pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] zu bilden?


Die Idee ist richtig, aber die Matrix A nicht richtig.

Es ist doch:

[mm]\pmat{x' \\ y' }=\pmat{0 & -1 \\ 1 & 0}\pmat{x \\ y}+t*\pmat{-1 \\ 1}[/mm]

Damit ist [mm]A=\pmat{0 & -1 \\ 1 & 0}[/mm]


Gruss
MathePower


Bezug
                
Bezug
Matrixexponential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Di 13.11.2012
Autor: kalifat

Danke für die Erläuterung, stimmt es das  

[mm] e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t} \\ e^{t} & 1 } [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Di 13.11.2012
Autor: MathePower

Hallo kalifat,

> Danke für die Erläuterung, stimmt es das  
>
> [mm]e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t} \\ e^{t} & 1 }[/mm] ?


Nein, das stimmt nicht.

Verwende zur Bestiimmung des Matrixexponentials
die bekannte Taylorreihe der Exponentialfunktion.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Matrixexponential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Di 13.11.2012
Autor: kalifat

[mm] e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t}-1 \\ e^{t}-1 & 1 }, [/mm] so müsste es stimmen

Bezug
                                        
Bezug
Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Di 13.11.2012
Autor: MathePower

Hallo kalifat,

> [mm]e^{tA}=\pmat{ 1 & e^{-t}-1 \\ e^{t}-1 & 1 },[/mm] so müsste es
> stimmen


Nein, das stimmt auch nicht.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Matrixexponential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Di 13.11.2012
Autor: kalifat

Hmm, ich habe die Taylorreihe verwendet und erhalte

[mm] \pmat{ 1 & -t+\bruch{t^2}{2} -\bruch{t^3}{6}+-...\\ t+\bruch{t^2}{2} +\bruch{t^3}{6}+ & 1 }, [/mm] was mache ich falsch?

Bezug
                                                        
Bezug
Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Di 13.11.2012
Autor: MathePower

Hallo kalifat,

> Hmm, ich habe die Taylorreihe verwendet und erhalte
>  
> [mm]\pmat{ 1 & -t+\bruch{t^2}{2} -\bruch{t^3}{6}+-...\\ t+\bruch{t^2}{2} +\bruch{t^3}{6}+ & 1 },[/mm]
> was mache ich falsch?


Höchstwahrscheinlich hast Du die Matrixpotenzen nicht richtig gebildet.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Di 13.11.2012
Autor: ullim

Hi,

Du kannst [mm] e^{A*t} [/mm] auch dadurch berechnen, in dem Du die Eigenvektoren von A berechnest und dann A in der Form [mm] T*D*T^{-1} [/mm] darstellst, mit D ist eine Diagonalmatrix.

[mm] e^{A*t} [/mm] kann dann berechnet werden als

[mm] e^{A*t}=T*e^{D*t}*T^{-1} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:17 Mi 14.11.2012
Autor: fred97

Berechne mal [mm] A^2, [/mm] dann [mm] A^3, [/mm] dann [mm] A^4. [/mm]

Fällt Dir etwas auf ?

FRED

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