Matrixexponentialfunktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Berchne die Exponentialfunktion [mm] e^{tA} [/mm] der Matrix A:
A = [mm] \pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda } [/mm] |
Ich brauche einen Denkanstoß:
Die Matrix A hat offensichtlich den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] mit doppelter algebraischer
Vielfachheit. Es gibt also nur einen Eigenvektor [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
Ich brauche aber zwei, um die Matrizen S und [mm] S^{-1} [/mm] aufzustellen. WIe bekomme ich den zweiten Eigenvektor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 21.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berchne die Exponentialfunktion [mm]e^{tA}[/mm] der Matrix A:
>
> A = [mm]\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }[/mm]
> Ich brauche einen
> Denkanstoß:
>
> Die Matrix A hat offensichtlich den Eigenwert [mm]\lambda[/mm] mit
> doppelter algebraischer
> Vielfachheit. Es gibt also nur einen Eigenvektor [mm]v_1[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0}.[/mm]
> Ich brauche aber zwei, um die Matrizen S
> und [mm]S^{-1}[/mm] aufzustellen. WIe bekomme ich den zweiten
> Eigenvektor?
Es gibt keinen weiteren Eigenvektor [mm] v_2, [/mm] so dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Du kannst Die Aufgabe so lösen: zeige mit Induktion:
[mm] (tA)^n= [/mm] $ [mm] \pmat{ \lambda^nt^n & n\lambda^{n-1}t^n\\ 0 & \lambda^nt^n } [/mm] $ für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Das geht ganz fix.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 23.11.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Und selbst berechnen kann man das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und selbst berechnen kann man das nicht?
Diese Frage verstehe ich nicht. Nimm an, Du hättest gezeigt
$ [mm] (tA)^n= [/mm] $ $ [mm] \pmat{ \lambda^nt^n & n\lambda^{n-1}t^n\\ 0 & \lambda^nt^n } [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $
Dann kannst Du doch [mm] e^{tA} [/mm] ganz locker unf flockig hinschreiben.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 23.11.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ja, das schon.
Ich meine die Matrix, deren Richtigkeit ich per Induktion beweisen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das schon.
> Ich meine die Matrix, deren Richtigkeit ich per Induktion
> beweisen soll.
>
Mit verlaub, aber dein problem verstehe ich nicht. Kannst du dich mal klar ausdruecken
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 23.11.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Naja, normalerweise berechnen wir die Matrixexponentialfunktion über die Diagonalmatrix, wo dann e in die Diagonaleinträger reingezogen werden kann, und dann einfach mit den Transformationsmatritzen die endgültige Matrix ausgerechnet werden kann.
Da die hier gegebene Matrix aber einen doppelten Eigenwert, also nur einen Eigenvektor hat, kann ich die Transformationsmatritzen, bzw die Diagonalmatrix nicht aufstellen.
Wenn ich jetzt deinen Ansatz verwende, und per Induktion beweise, habe ich zwar eine Lösung für die Exponentialmatrix. Aber das bekomme ich ja nur, weil ich bereits eine Lösung von dir bekommen habe. Man muss ja auch irgendwie dahin kommen, dass eben das eine Lösung ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Naja, normalerweise berechnen wir die
> Matrixexponentialfunktion über die Diagonalmatrix, wo dann
> e in die Diagonaleinträger reingezogen werden kann, und
> dann einfach mit den Transformationsmatritzen die
> endgültige Matrix ausgerechnet werden kann.
Was heißt denn "normalerweise " ? Für diagonalisierbare Matrizen ist oben einer von vielen Wegen.
DEr Knackpunkt: obige Matrix ist nicht diagonalisierbar.
> Da die hier gegebene Matrix aber einen doppelten Eigenwert,
> also nur einen Eigenvektor hat, kann ich die
> Transformationsmatritzen, bzw die Diagonalmatrix nicht
> aufstellen.
>
> Wenn ich jetzt deinen Ansatz verwende, und per Induktion
> beweise, habe ich zwar eine Lösung für die
> Exponentialmatrix. Aber das bekomme ich ja nur, weil ich
> bereits eine Lösung von dir bekommen habe. Man muss ja
> auch irgendwie dahin kommen, dass eben das eine Lösung
> ist.
Das verstehe , wer will, ich jedenfalls nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 23.11.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Normalerweise bedeutet: So haben wir das in Vorlesung und Tutorium besprochen.
Das obige Matrix nicht diagonalisierbar ist, ist mir klar, das ist ja das Problem.
Also nochmal, vlt. verständlicher:
Angenommen, du wüsstest nicht, dass man mit
$ [mm] \pmat{ \lambda^nt^n & n\lambda^{n-1}t^n\\ 0 & \lambda^nt^n } [/mm] $
die Aufgabe lösen kann. Was hättest du mir dann geraten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 23.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Normalerweise bedeutet: So haben wir das in Vorlesung und
> Tutorium besprochen.
> Das obige Matrix nicht diagonalisierbar ist, ist mir klar,
> das ist ja das Problem.
>
> Also nochmal, vlt. verständlicher:
>
> Angenommen, du wüsstest nicht, dass man mit
>
> [mm]\pmat{ \lambda^nt^n & n\lambda^{n-1}t^n\\ 0 & \lambda^nt^n }[/mm]
>
Das hab ich zunächst auch nicht gewusst. Ich hab ein paar Potenzen ausgerechnet , dann hatte ich obige Vermutung. So wie ich, zeige induktiv, dass es stimmt
FRED
> die Aufgabe lösen kann. Was hättest du mir dann geraten?
>
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