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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Matrixexponentialfunktion
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Matrixexponentialfunktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Aufgabe
Berechnen Sie die Matrixexponentialfunktion exp (xA) für [mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 } [/mm] explizit.

Hallo,

ich hab mir dazu einiges durchgelesen, aber mir fehlt es mal wieder am Verständnis. Ich denke man sollte hier zuerst die Diagonalmatrix von A berechnen, wenn man diese hat, dann soll man - laut Wikipedia -  A = [mm] UDU^{−1} [/mm] mit einer Diagonalmatrix D berechnen, dann ist [mm] e^A=Ue^{D}U^{-1} [/mm]

Stimmt erstmal die Idee oder gibts da schon nen Problem?

Gruß Leipziger

        
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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Berechnen Sie die Matrixexponentialfunktion exp (xA) für
> [mm]A=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 }[/mm]
> explizit.
>  Hallo,
>  
> ich hab mir dazu einiges durchgelesen, aber mir fehlt es
> mal wieder am Verständnis. Ich denke man sollte hier
> zuerst die Diagonalmatrix von A berechnen, wenn man diese
> hat, dann soll man - laut Wikipedia -  A = [mm]UDU^{−1}[/mm] mit
> einer Diagonalmatrix D berechnen, dann ist
> [mm]e^A=Ue^{D}U^{-1}[/mm]
>  
> Stimmt erstmal die Idee oder gibts da schon nen Problem?

Hallo,

die Richtung stimmt.

der Gedanke:

[mm] e^A=e^{UDU^{−1}}=Ue^DU^{−1}. [/mm]

Der Witz: [mm] e^D [/mm] berechnet sich entschieden bequemer als [mm] e^A. [/mm]

Gruß v. Angela


>  
> Gruß Leipziger


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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Danke Angela für deine Antwort.

Also, ich hab jetzt die Jordanmatrix (Diagonalmatrix) berechnet, hoffe die stimmt soweit:

[mm] D=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm]

Somit sollte ich dann ja für

[mm] e^D=\pmat{ e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & e^1 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 } [/mm]

erhalten. Wenn das korrekt ist, wie bekomm ich jetzt U bzw. [mm] U^{-1}. [/mm] Ich weiß dass ich das in lin.Alg 2 gemacht habe, kann mich aber nicht mehr entsinnen :/

Gruß Leipziger

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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 So 13.12.2009
Autor: Arcesius

Hallo

> Danke Angela für deine Antwort.
>  
> Also, ich hab jetzt die Jordanmatrix (Diagonalmatrix)
> berechnet, hoffe die stimmt soweit:
>  
> [mm]D=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>  
> Somit sollte ich dann ja für
>
> [mm]e^D=\pmat{ e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & e^1 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 }[/mm]
>  
> erhalten. Wenn das korrekt ist, wie bekomm ich jetzt U bzw.
> [mm]U^{-1}.[/mm] Ich weiß dass ich das in lin.Alg 2 gemacht habe,
> kann mich aber nicht mehr entsinnen :/
>  
> Gruß Leipziger

Du musst dafür die Eigenvektoren berechnen, erinnerst du dich? Wenn du eine Matrix A diagonalisieren möchtest, so berechnest du D = [mm] UAU^{-1}, [/mm] wobei [mm] U^{-1} [/mm] als Spalten, die Eigenvektoren der Matrix A enthält.

Kommst du weiter?

Grüsse, Amaro

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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Man, das kann sich dann ja um schöne Terme handeln, wenn mein [mm] U^{-1} [/mm] stimmt.
Haben erstmal die EW berechnet, mit: [mm] \lambda_1=2, \lambda_2=1, \lambda_3=-1 [/mm]
Die dazugehörigen EV: [mm] v_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{ -1 \\ 3 \\ 5} [/mm]

Somit erhalte ich [mm] U^{-1}= \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 5} [/mm]

Richtig?

==> [mm] U=\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 } [/mm]

Ich glaube das hatte ich auch bei dem Aufgabenblatt bei einer anderen Aufgabe schon.

Gruß Leipziger

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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Irgendwie kann das nicht hinhauen, ich bekomme dann nämlich

[mm] D=\pmat{ 6 & 2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -6 } [/mm]

und dies ist nun mal keine Diagonalmatrix :(
Wo liegt der Fehler?

Gruß Leipziger

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Matrixexponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Kann wirklich keiner beantworten, wo ich mich verrechnet habe, bzw. vllt ist der Ansatz ja auch falsch!?

Gruß

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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Irgendwie kann das nicht hinhauen, ich bekomme dann
> nämlich
>
> [mm]D=\pmat{ 6 & 2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -6 }[/mm]
>  
> und dies ist nun mal keine Diagonalmatrix :(
>  Wo liegt der Fehler?
>  
> Gruß Leipziger

Hallo,

hast Du vielleicht U bzw. [mm] U^{-1} [/mm] an die jeweils falsche Seite von A heranmultipliziert?

Gruß v. Angela


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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Man, das kann sich dann ja um schöne Terme handeln, wenn
> mein [mm]U^{-1}[/mm] stimmt.
>  Haben erstmal die EW berechnet, mit: [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=1, \lambda_3=-1[/mm]
>  
> Die dazugehörigen EV: [mm]v_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{ -1 \\ 3 \\ 5}[/mm]
>  
> Somit erhalte ich [mm]U^{-1}= \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 5}[/mm]
>  
> Richtig?
>
> ==> [mm]U=\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }[/mm]
>  
> Ich glaube das hatte ich auch bei dem Aufgabenblatt bei
> einer anderen Aufgabe schon.
>  
> Gruß Leipziger

Hallo,

Deine Matrizen sind an sich richtig, aber ich sehe jetzt den Fehler:

mit Deinen Bezeichnungen gilt    [mm] D=UAU^{-1}, [/mm]

also [mm] A=U^{-1}DU. [/mm]

Gruß v. Angela

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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Tut mir echt leid, ich komme wieder genau auf dieselbe Matrix D,

bei mir ist [mm] U^{-1}*A [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 } [/mm] und wenn ich die mit U mulitpliziere, komm ich eben auf mein D, was immernoch keine Diagonalmatrix ist. Wo liegt der Fehler, rechne ich falsch?

Gruß

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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.

Hallo,

lies meine Antwort von 19.32 Uhr.

Gruß v. Angela

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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Mh, Angela, ich raub dir sicher den letzten Nerv, aber nun hab ich es gedreht und komme auf:

U*A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & -1 \\ 12 & -5 & 0 } [/mm]

und damit auf D= [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 6 & -9 & 15 \\ 7 & -17 & 29 } [/mm]

Also auch keine Diagonalmatrix :(

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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 So 13.12.2009
Autor: Arcesius

Hallo

Es reicht nicht, wenn du nur U*A berechnest...


Nehme jetzt mal deine Matrizen A, U und [mm] U^{-1} [/mm] und berechne [mm] U*A*U^{-1}. [/mm] Dann sollte deine Diagonalmatrix herauskommen.

Grüsse, Amaro

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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Das habe ich natürlich getan, dass war nur mein Zwischenschritt zum vergleich. Danach hab ich natürlich noch mit [mm] U^{-1} [/mm] multipluziert!

Und dann kommt eben das raus, was ich geschrieben hab!

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Bezug
Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Das habe ich natürlich getan, dass war nur mein
> Zwischenschritt zum vergleich. Danach hab ich natürlich
> noch mit [mm]U^{-1}[/mm] multipluziert!
>  
> Und dann kommt eben das raus, was ich geschrieben hab!

Hallo,

bei deinem Ergebnis für U*A frage ich mich, wo die Drittel geblieben sind.

Mein Eintrag an der Position 1.Z 1.S. ist nicht ganz.

Gruß v. Angela

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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wenn ich Deine Matrizen U, [mm] U^{-1}, [/mm] A und D in der richtigen Reihenfolge kombiniere, klappt's einwandfrei.

Entweder rechnest Du falsch, oder Du hast die verkehrten Matrizen am Wickel.

Schreib doch mal (mit ausgeschriebenen Matrizen) hin, was genau Du multiplizierst, damit man die Sache nachvollziehen kann.

Gruß v. Angela

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Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Also, habe

[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }*\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & -1 \\ 12 & -5 & 0 }*\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 6 & -9 & 15 \\ 7 & -17 & 29 } [/mm]

glaube ich bin bissl verplant grade. Wo liegt der Rechenfehler?

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Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 So 13.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Also, habe
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }*\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & -1 \\ 12 & -5 & 0 }*\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 6 & -9 & 15 \\ 7 & -17 & 29 }[/mm]
>  
> glaube ich bin bissl verplant grade. Wo liegt der
> Rechenfehler?

Hallo,

zunächst einmal ist Deine Gleichung eine Katastrophe:
hinter dem zweiten Gleichheitszeichen multiplizierst Du ans Ergebnis der ersten Multiplikation einfach eine Matrix dran. Das geht doch nicht!

Ich vermute auch noch sonstiges Chaos.

Anders kann ich es mir nicht erklären, daß Du schon wieder die Matrix, die Du [mm] U^{-1} [/mm] nennst, vorne an A heranmultiplizierst...

Gruß v. Angela


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Matrixexponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Danke, ich hab den Fehler gefunden, und hab es nur versucht hier kurz aufzuschreiben, weil ich gerade beschäftigt bin... tut mir leid!

Bezug
                                                                                        
Bezug
Matrixexponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Sieht zwar irgendwie ziemlich gewaltig aus, aber so sollte es passen:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }\cdot{}\pmat{ e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{e} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{3} & -1 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{6} }=\pmat{ \bruch{1}{3}*e^2+\bruch{1}{2}*e+\bruch{1}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}*e^2-\bruch{1}{2}*e-\bruch{1}{6e} \\ \bruch{1}{2}*e-\bruch{1}{2e} & e & -\bruch{1}{2}*e+\bruch{1}{2e} \\ \bruch{1}{3}*e^2+\bruch{1}{2}*e-\bruch{5}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}*e^2-\bruch{1}{2}*e+\bruch{5}{6e} } [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Matrixexponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Tut mir leid, vergessen es als Frage einzutragen.
Aber mir ist aufgefallen, in der Aufgabe steht exp(xA), kann ich dann am Ende einfach die Lösung

[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }\cdot{}\pmat{ e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{e} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{3} & -1 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{6} }=\pmat{ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{6e} \\ \bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{2e} & e & -\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{2e} \\ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{5}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{5}{6e} }^x [/mm]

rechnen (wer es nicht sieht "hoch x")? Oder wie mach ich das mit dem x nun?

Gruß

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Matrixexponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Mo 14.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Tut mir leid, vergessen es als Frage einzutragen.
>  Aber mir ist aufgefallen, in der Aufgabe steht exp(xA),
> kann ich dann am Ende einfach die Lösung
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }\cdot{}\pmat{ e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{e} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{3} & -1 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{6} }=\pmat{ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{6e} \\ \bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{2e} & e & -\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{2e} \\ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{5}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{5}{6e} }^x[/mm]
>  
> rechnen (wer es nicht sieht "hoch x")? Oder wie mach ich
> das mit dem x nun?

Hallo,

streng nach Vorschrift.

[mm] xA=xUDU^{-1}=U(xD)U^{-1}, [/mm] und jetzt potenzieren.

Gruß v. Angela

P.S.: "Matrix hoch x" (wie Du oben vorschlägst) mit [mm] x\in \IR [/mm] würde mich ziemlich ratlos machen - was stellst Du Dir darunter vor?

>  
> Gruß

[mm] UDU^{-1} [/mm]

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Matrixexponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:42 Mo 14.12.2009
Autor: Leipziger

Danke hab es. Keine Ahnung wie ich mir das vorstelle, aber wohl zu einfach, und nicht mathematisch korrekt.

Gruß

Bezug
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