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| Aufgabe | B [mm] =\pmat{ 1 & 1&-1 & 0 \\ 0 & -1&0&1 \\ 0 & 0&-1&1 \\ 0 & 0&0&1 }
[/mm]
1) Berechnen Sie [mm] e^{Bt}, [/mm] t in IR.
2) Bestimmen Sie alle [mm] a\in IR^{4}, [/mm] für die die Lösung des AWP
x' = Bx; x(0) = a
fur t [mm] \ge0 [/mm] beschränkt bleibt. |
also zuerst einmal zu 1.
Ich habe die Matrix durch umformen auf folgende Form gebracht
B [mm] =\pmat{ 1 & 0&0 & 0 \\ 0 & -1&0&0 \\ 0 & 0&-1&0 \\ 0 & 0&0&1 }
[/mm]
Für die EW habe ich [mm] \lambda=\pm1, [/mm] für die EV habe ich
[mm] v1=\vektor{1\\ 0\\ 0\\ 0}
[/mm]
[mm] v2=\vektor{0\\ 1\\ 0\\ 0}
[/mm]
[mm] v3=\vektor{0\\ 0\\ 1\\ 0}
[/mm]
[mm] v4=\vektor{0\\ 0\\0\\ 1}
[/mm]
ich weiß, dass [mm] e^{Bt}=Te^{Jt}T^{-1} [/mm] ist
ist T = E4 in diesem Fall?
stimmt das bisjetzt?
und [mm] e^{Jt} [/mm] kann man ja durch [mm] e^{t*lambda } [/mm] darstellen, nur habe ich ja 2. lambdas, also werde ich auch zwei verschiedene Werte für [mm] e^{Jt} [/mm] bekommen, aber wie berechne ich mir dann damit [mm] e^{Bt}=Te^{Jt}T^{-1}? [/mm] oder ist es egal welches lambda ich nehme?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Inocencia,
> B [mm]=\pmat{ 1 & 1&-1 & 0 \\ 0 & -1&0&1 \\ 0 & 0&-1&1 \\ 0 & 0&0&1 }[/mm]
>
> 1) Berechnen Sie [mm]e^{Bt},[/mm] t in IR.
> 2) Bestimmen Sie alle [mm]a\in IR^{4},[/mm] für die die Lösung
> des AWP
> x' = Bx; x(0) = a
> fur t [mm]\ge0[/mm] beschränkt bleibt.
>
> also zuerst einmal zu 1.
>
> Ich habe die Matrix durch umformen auf folgende Form
> gebracht
> B [mm]=\pmat{ 1 & 0&0 & 0 \\ 0 & -1&0&0 \\ 0 & 0&-1&0 \\ 0 & 0&0&1 }[/mm]
>
> Für die EW habe ich [mm]\lambda=\pm1,[/mm] für die EV habe ich
> [mm]v1=\vektor{1\\ 0\\ 0\\ 0}[/mm]
> [mm]v2=\vektor{0\\ 1\\ 0\\ 0}[/mm]
>
> [mm]v3=\vektor{0\\ 0\\ 1\\ 0}[/mm]
> [mm]v4=\vektor{0\\ 0\\0\\ 1}[/mm]
>
>
> ich weiß, dass [mm]e^{Bt}=Te^{Jt}T^{-1}[/mm] ist
>
>
> ist T = E4 in diesem Fall?
> stimmt das bisjetzt?
> und [mm]e^{Jt}[/mm] kann man ja durch [mm]e^{t*lambda }[/mm] darstellen, nur
> habe ich ja 2. lambdas, also werde ich auch zwei
> verschiedene Werte für [mm]e^{Jt}[/mm] bekommen, aber wie berechne
> ich mir dann damit [mm]e^{Bt}=Te^{Jt}T^{-1}?[/mm] oder ist es egal
> welches lambda ich nehme?
>
Berechne doch gemäß der Definition der Exponentialreihe
sämtliche Potenzen der Matrix B. Dabei stößt Du dann auf
eine Gesetzmäßigkeit mit deren Hilfe Du dann [mm]e^{Bt}[/mm]
berechnen kannst.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort, ich habe das jetzt gemacht und irgendwie kommt immer die Einheitsmatrix heraus? kann das stimmen? wie kann ich jetzt diese Summe umschreiben?
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Hallo Inocencia,
> Danke für die Antwort, ich habe das jetzt gemacht und
> irgendwie kommt immer die Einheitsmatrix heraus? kann das
> stimmen? wie kann ich jetzt diese Summe umschreiben?
Die Einheitsmatrix kommt doch nur für bestimmte Potenzen heraus.
Für die noch fehlenden Potenzen kommt etwas anderes heraus.
Setze dann beide Ergebnisse in die Expontialreihe ein.
Gruss
MathePower
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Stimmt, für gerade k habe ich die Einheitsmatrix, und für ungerade die Matrix B selbst, also muss ich die Summe aufteilen in gerade und ungerade?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt, für gerade k habe ich die Einheitsmatrix, und für
> ungerade die Matrix B selbst, also muss ich die Summe
> aufteilen in gerade und ungerade?
Ja, dann bekommst Du [mm] $e^{Bt}=f(t)T+g(t)B$.
[/mm]
Mit welchen Funktionen f und g ?
FRED
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also f(t)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{t^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
und g(t) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{t^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> also f(t)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{t^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> und
> g(t) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{t^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> ??
Ja. cosh und sinh
FRED
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| Aufgabe | 2.Teil der Aufgabe
Bestimmen Sie alle a [mm] \in IR^{4}, [/mm] für die die Lösung des AWP
x' = Bx; x(0) = a
für [mm] t\ge0 [/mm] beschränkt bleibt. |
also erstmals vielen Dank für die bisherige Hilfe!! :)
Nun zum 2.Teil, also da muss ich mir ja wieder die EW und EV der Matrix anschauen:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
dann habe ich ja als Lösungen für
[mm] p(\lambda=1)= \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
mit den EV
v1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
v2 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] p(\lambda=-1)= \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
mit den EV
v3 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
v4 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und als Gesamtlösung
x(t) = [mm] c1*e^{t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] c2*t*e^{t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c3*e^{-t}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] c4*t*e^{-t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
stimmt das bisjetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> 2.Teil der Aufgabe
> Bestimmen Sie alle a [mm]\in IR^{4},[/mm] für die die Lösung
> des AWP
> x' = Bx; x(0) = a
> für [mm]t\ge0[/mm] beschränkt bleibt.
> also erstmals vielen Dank für die bisherige Hilfe!! :)
>
> Nun zum 2.Teil, also da muss ich mir ja wieder die EW und
> EV der Matrix anschauen:
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1
>
> dann habe ich ja als Lösungen für
> [mm]p(\lambda=1)= \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> mit den EV
> v1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> v2 = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> [mm]p(\lambda=-1)= \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> mit den EV
> v3 = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> v4 = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
>
> und als Gesamtlösung
>
> x(t) = [mm]c1*e^{t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] +
> [mm]c2*t*e^{t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]c3*e^{-t}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]c4*t*e^{-t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
> stimmt das bisjetzt?
Nein. Ich hab so eine Ahnung, was Du gemacht haben könntest. Jedenfalls ist z.B. [mm] x(t)=t*e^{-t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] keine Lösung von x'=Bx.
Preisfrage: warum glaubst Du wohl, hat der Aufgabensteller Dich gebeten [mm] e^{tB} [/mm] zu berechnen ?
Deine Antwort bitte hier:
Meine Antwort: Seien [mm] s_1(t), s_2(t), s_3(t) [/mm] und [mm] s_4(t) [/mm] die Spalten von [mm] e^{tB}
[/mm]
Dann lautet die allgemeine Lösung von x'=Bx:
[mm] x(t)=c_1 s_1(t)+c_2s_2(t)+c_3s_3(t)+c_4s_4(t) [/mm]
FRED
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also [mm] e^{Bt}= [/mm] cosh(t)T + sinh(t)B
[mm] e^{Bt}= \pmat{ cosh(t) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosh(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosh(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & cosh(t)} [/mm] + [mm] \pmat{ sinh(t) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -sinh(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -sinh(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & sinh(t)} [/mm] = [mm] \pmat{ cosh(t) + sinh(t) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosh(t) - sinh(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosh(t) - sinh(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & cosh(t) + sinh(t)}
[/mm]
wären das dann die richtigen Spalten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> also [mm]e^{Bt}=[/mm] cosh(t)T + sinh(t)B
Du meinst: [mm]e^{Bt}=[/mm] cosh(t)I + sinh(t)B
>
>
> [mm]e^{Bt}= \pmat{ cosh(t) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosh(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosh(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & cosh(t)}[/mm]
> + [mm]\pmat{ sinh(t) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -sinh(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -sinh(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & sinh(t)}[/mm]
Wie kommst Du auf die zweite Matrix ? Wo ist da B eingegangen ?
FRED
> = [mm]\pmat{ cosh(t) + sinh(t) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosh(t) - sinh(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cosh(t) - sinh(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & cosh(t) + sinh(t)}[/mm]
>
>
> wären das dann die richtigen Spalten?
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B habe ich durch Umformen auf diese Form gebracht:
B= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
und wenn ich das mit sinh(t) multipliziere kommt ja das vom vorherigen Post heraus, oder?
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Hallo Inocencia,
> B habe ich durch Umformen auf diese Form gebracht:
> B= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> und wenn ich das mit sinh(t) multipliziere kommt ja das vom
> vorherigen Post heraus, oder?
Ja, das kommt heraus.
Ist aber nicht das richtige Ergebnis.
Es ist das B aus der Aufgabenstellung zu nehmen.
Gruss
MathePower-
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Asoo! also nochmal:
[mm] \pmat{ 1 & 1&-1 & 0 \\ 0 & -1&0&1 \\ 0 & 0&-1&1 \\ 0 & 0&0&1 }*sinh(t)
[/mm]
[mm] =\pmat{ sinh(t) & sinh(t)&-sinh(t) & 0 \\ 0 & -sinh(t)&0&sinh(t) \\ 0 & 0&-sinh(t)&sinh(t) \\ 0 & 0&0&sinh(t) }
[/mm]
[mm] e^{Bt}= \pmat{ cosh(t) & 0&0 & 0 \\ 0 & cosh(t)&0&0 \\ 0 & 0&cosh(t)&0 \\ 0 & 0&0&cosh(t) } [/mm] + [mm] \pmat{ sinh(t) & sinh(t)&-sinh(t) & 0 \\ 0 & -sinh(t)&0&sinh(t) \\ 0 & 0&-sinh(t)&sinh(t) \\ 0 & 0&0&sinh(t) } [/mm] = [mm] \pmat{ sinh(t)+cosh(t) & sinh(t)&-sinh(t) & 0 \\ 0 & cosh(t)-sinh(t)&0&sinh(t) \\ 0 & 0&cosh(t)-sinh(t)&sinh(t) \\ 0 & 0&0&cosh(t)+sinh(t) }
[/mm]
stimmt das jetzt so?
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Hallo Inocencia,
> Asoo! also nochmal:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1&-1 & 0 \\ 0 & -1&0&1 \\ 0 & 0&-1&1 \\ 0 & 0&0&1 }*sinh(t)[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ sinh(t) & sinh(t)&-sinh(t) & 0 \\ 0 & -sinh(t)&0&sinh(t) \\ 0 & 0&-sinh(t)&sinh(t) \\ 0 & 0&0&sinh(t) }[/mm]
>
> [mm]e^{Bt}= \pmat{ cosh(t) & 0&0 & 0 \\ 0 & cosh(t)&0&0 \\ 0 & 0&cosh(t)&0 \\ 0 & 0&0&cosh(t) }[/mm]
> + [mm]\pmat{ sinh(t) & sinh(t)&-sinh(t) & 0 \\ 0 & -sinh(t)&0&sinh(t) \\ 0 & 0&-sinh(t)&sinh(t) \\ 0 & 0&0&sinh(t) }[/mm]
> = [mm]\pmat{ sinh(t)+cosh(t) & sinh(t)&-sinh(t) & 0 \\ 0 & cosh(t)-sinh(t)&0&sinh(t) \\ 0 & 0&cosh(t)-sinh(t)&sinh(t) \\ 0 & 0&0&cosh(t)+sinh(t) }[/mm]
>
> stimmt das jetzt so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Danke für deine Hilfe.
also jetzt habe ich
x(t)=c1*s1(t)+c2*s2(t)+c3*s3(t)+c4*s4(t)
wobei s die Spalten der Matrix sind
und jetzt ist x(0)=a und ich muss jetzt alle a bestimmen für die die Lösung des AWP beschränkt bleibt (wobei a [mm] \in R^4), [/mm] wobei t [mm] \ge [/mm] 0 ist? ich kann ja die c's durch die die a's darstellen, wenn ich für t = 0 einsetze, aber dann? ich weiß da wirklich nicht weiter, ich weiß nur, dass cosh und sinh beide unbeschränkt sind
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Hallo Inocencia,
> Danke für deine Hilfe.
>
> also jetzt habe ich
> x(t)=c1*s1(t)+c2*s2(t)+c3*s3(t)+c4*s4(t)
>
> wobei s die Spalten der Matrix sind
> und jetzt ist x(0)=a und ich muss jetzt alle a bestimmen
> für die die Lösung des AWP beschränkt bleibt (wobei a
> [mm]\in R^4),[/mm] wobei t [mm]\ge[/mm] 0 ist? ich kann ja die c's durch die
> die a's darstellen, wenn ich für t = 0 einsetze, aber
> dann? ich weiß da wirklich nicht weiter, ich weiß nur,
> dass cosh und sinh beide unbeschränkt sind
Gebe zunächst die allgemeine Lösung an.
Dabei ist es vorteilhaft, die Definitionen
[mm]\sinh\left(t\right)=\bruch{e^{t}-e^{-t}}{2}[/mm]
[mm]\cosh\left(t\right)=\bruch{e^{t}+e^{-t}}{2}[/mm]
zu verwenden.
Mit Hilfe dieser Definitionen kannst Du dann entscheiden,
für welche [mm]a \in \IR^{4}[/mm] die Lösung beschränkt bleibt.
Gruss
MathePower
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