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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:59 Do 11.07.2013 | | Autor: | Loro |
| Aufgabe | Seien a, b, c [mm] \in \IC. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] exp(\pmat{ a & c \\ 0 & b })=\pmat{ e^{a} & d \\ 0 & e^{b}}, [/mm] wobei [mm] d=\begin{cases} c*(e^{b}-e^{a})/(b-a), & \mbox{falls } b\not=a, \\ c*e^{a}, & \mbox{falls } b=a. \end{cases} [/mm] |
Hallo, ich stecke leider bei dieser Aufgabe fest. Ich habe probiert, die Exponentialfunktion der Matrix mithilfe der Jordan-Normalform zu berechnen, kam damit aber leider nicht weiter.
Als nächstes habe ich mir überlegt, die Reihendarstellung der Exponentialfunktion zu nutzen und mir zunächst überlegt wie [mm] A^{k} [/mm] an der Stelle d aussieht:
Damit käme ich dann auf [mm] d=a^{k-1}*c+a^{k-2}*c*b^{k-2}+c*b^{k^-1}.
[/mm]
Und an dieser Stelle komme ich leider nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich dann auf die gesuchten Terme für d komme.
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
Loro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:20 Do 11.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien a, b, c [mm]\in \IC.[/mm] Zeigen Sie, dass
> [mm]exp(\pmat{ a & c \\ 0 & b })=\pmat{ e^{a} & d \\ 0 & e^{b}},[/mm]
> wobei [mm]d=\begin{cases} c*(e^{b}-e^{a})/(b-a), & \mbox{falls } b\not=a, \\ c*e^{a}, & \mbox{falls } b=a. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo, ich stecke leider bei dieser Aufgabe fest. Ich habe
> probiert, die Exponentialfunktion der Matrix mithilfe der
> Jordan-Normalform zu berechnen, kam damit aber leider nicht
> weiter.
> Als nächstes habe ich mir überlegt, die
> Reihendarstellung der Exponentialfunktion zu nutzen und mir
> zunächst überlegt wie [mm]A^{k}[/mm] an der Stelle d aussieht:
> Damit käme ich dann auf
> [mm]d=a^{k-1}*c+a^{k-2}*c*b^{k-2}+c*b^{k^-1}.[/mm]
Das stimmt nicht.
Richtig ist
[mm] c(a^{k-1}+a^{k-2}*b+....+a*b^{k-2}+b^{k-1})
[/mm]
Nun beachte noch:
[mm] a^k-b^k=(a-b)*(a^{k-1}+a^{k-2}*b+....+a*b^{k-2}+b^{k-1})
[/mm]
FRED
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> Und an dieser Stelle komme ich leider nicht weiter. Ich
> weiß nicht wie ich dann auf die gesuchten Terme für d
> komme.
>
> Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
> Liebe Grüße
> Loro
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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