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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 27.12.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Leute,
ich bin gerade bei der Vorbereitung zur Klausur und will in den Ferien ein paar Aufgaben rechnen, leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Sei f: [mm] GL_{n} [/mm] --> [mm] \IR^{n \times n} [/mm] definiert durch f(X) = [mm] X^{-1}. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] D_{f(X)}H [/mm] = [mm] -X^{-1}HX
[/mm]
Für alle X,H [mm] \in GL_{n}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir hier bei der Aufgabe weiterhelfen... Wäre euch echt sehr dankbar und falls ich diese Woche keine Zeit mehr finde, hier reinzuschreiben wünsche ich euch jetzt schon einen guten Rutsch ins neue Jahr 
LG
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Do 27.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Sei f: [mm]GL_{n}[/mm] --> [mm]\IR^{n \times n}[/mm] definiert durch f(X) =
> [mm]X^{-1}.[/mm] Zeigen Sie, dass
>
> [mm]D_{f(X)}H[/mm] = [mm]-X^{-1}HX[/mm]
>
> Für alle X,H [mm]\in GL_{n}[/mm]
Muss das nicht
[mm]D_{f(X)}H=-X^{-1}HX^{\red{-1}}[/mm]
heissen?
Wie habt ihr das totale Differential definiert?
Du kannst die linke Seite so schreiben:
[mm] D_{f(X)}H = \left.\bruch{d}{dt}f(X+t*H) \right|_{t=0} [/mm]
Zur Berechnung betrachte die Ableitung
[mm] \bruch{d}{dt}\left((X+t*H)*f(X+t*H)\right) [/mm],
die per Definition von f Null ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
bin nun wieder zuhause...
Das totale Differential haben wir eigentlich nur für Funktionen von [mm] \IR^{n} [/mm] nach [mm] \IR^{m} [/mm] definiert und zwar ist eine solche Funktion total diffbar, falls eine lineare Abb. [mm] T:\IR^{n}\mapsto\IR^{m} [/mm] existiert mit
[mm] \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{||f(x+h)-f(x)-Th||}{||h||}=0
[/mm]
T heißt totale Ableitung von f in x, schreibe [mm] D_{f(x)}
[/mm]
Naja, mit dieser Definition kann ich überhaupt nichts anfangen, also ich verstehe sie, klar, aber ich kann daraus nicht ablesen, wie ich nun [mm] D_{f(x)} [/mm] bestimme.
Wir haben auch ein Bsp. Dazu gemacht mit f(x) = Ax+b und haben uns dann f(x+h)-f(x) = Ah angeschaut und daraus kann man ablesen, dass [mm] D_{f(x)}=A.
[/mm]
Des weitern haben wir gesagt, dass, wenn eine Funktion f total diffbar ist, sie auch part. diffbar und die Jacobi-Matrix [mm] J_{f(x)}*h [/mm] = [mm] D_{f(x)}*h [/mm] wäre.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies nun auf meine Funktion mit den Matrizen anwenden sollte. Ich habe mir überlegt, dass ich die Funktion einfach als eine Funktion von dem [mm] \IR^{n²} [/mm] nach [mm] \IR^{n²} [/mm] ansehe und mir dann die Jacobimatrix ausrechne, allerdings bräuchte ich ja dann die Teilfunktionen [mm] f_{1} [/mm] bis [mm] f_{n²}, [/mm] die man allerdings bei der Inversenbildung ja nicht ausrechnen kann..., oder?
Also ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich auf [mm] D_{f(x)} [/mm] kommen soll, wie dies überhaupt aussieht, wenn ich dies wüsste, würde mir das glaube ich schon sehr viel weiter helfen.
Ich habe noch eine Frage zu deiner Variante (die ich ehrlich gesagt nicht so verstanden habe...), wieso kann man die linke Seite so schreiben wie du und wieso muss man da nur auf t=0 einschränken?? Fehlt da auf der rechten Seite nicht noch ein H? wenn man t auf 0 einschränkt, fällt doch sowieso das t*H weg und es bleibt nur noch f(X) stehen, was ich allerdings nicht glaube, dass dies die linke seite sein soll, oder? und wieso muss ich mir zur Berechnung die Ableitung von dir betrachten, ich verstehe den Zusammenhang zur Aufgabe nicht...
Ich hoffe ihr könnt mir noch ein paar Tipps geben und bin dankbar für alles
LG
Caro
PS: ich hab nochmal die Aufgabenstellung nachgeschaut und es steht genau so drin wie ich es in meinem ersten Beitrag geschrieben habe, ist dies ein Fehler? Weil du meintest da fehlt noch ein hoch -1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> PS: ich hab nochmal die Aufgabenstellung nachgeschaut und
> es steht genau so drin wie ich es in meinem ersten Beitrag
> geschrieben habe, ist dies ein Fehler? Weil du meintest da
> fehlt noch ein hoch -1?
Ich habe mir den einfachsten Fall, nämlich n=1 angeschaut.
Dann sind das ja lauter [mm]1\times 1[/mm]-Matrizen, also Zahlen. Es ist [mm]f(X) = 1/X[/mm], [mm]D_{f(X)} = f'(X) = -1/X^2[/mm], und dann ist
[mm] D_{f(X)}H = -\bruch{1}{X^2} H [/mm]
Das passt nur, wenn da noch ein "hoch -1" steht, deswegen meine Frage.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Sa 05.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Das totale Differential haben wir eigentlich nur für
> Funktionen von [mm]\IR^{n}[/mm] nach [mm]\IR^{m}[/mm] definiert und zwar ist
> eine solche Funktion total diffbar, falls eine lineare Abb.
> [mm]T:\IR^{n}\mapsto\IR^{m}[/mm] existiert mit
>
> [mm]\lim_{h\rightarrow 0}\bruch{||f(x+h)-f(x)-Th||}{||h||}=0[/mm]
>
> T heißt totale Ableitung von f in x, schreibe [mm]D_{f(x)}[/mm]
>
> Naja, mit dieser Definition kann ich überhaupt nichts
> anfangen, also ich verstehe sie, klar, aber ich kann daraus
> nicht ablesen, wie ich nun [mm]D_{f(x)}[/mm] bestimme.
>
> Wir haben auch ein Bsp. Dazu gemacht mit f(x) = Ax+b und
> haben uns dann f(x+h)-f(x) = Ah angeschaut und daraus kann
> man ablesen, dass [mm]D_{f(x)}=A.[/mm]
>
> Des weitern haben wir gesagt, dass, wenn eine Funktion f
> total diffbar ist, sie auch part. diffbar und die
> Jacobi-Matrix [mm]J_{f(x)}*h[/mm] = [mm]D_{f(x)}*h[/mm] wäre.
>
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies nun auf meine
> Funktion mit den Matrizen anwenden sollte. Ich habe mir
> überlegt, dass ich die Funktion einfach als eine Funktion
> von dem [mm]\IR^{n²}[/mm] nach [mm]\IR^{n²}[/mm] ansehe und mir dann die
> Jacobimatrix ausrechne, allerdings bräuchte ich ja dann die
> Teilfunktionen [mm]f_{1}[/mm] bis [mm]f_{n²},[/mm] die man allerdings bei
> der Inversenbildung ja nicht ausrechnen kann..., oder?
Kann man schon, ist aber sehr mühsam. Das ist auch gar nicht nötig: Der Lösungsweg funktioniert auch mit eurer Definition:
Es gilt ja [mm]X*f(X) = 1_{n\times n} [/mm], also auch [mm](X+tH)*f(X+t*H)= 1_{n\times n}[/mm], sofern nur [mm]X+tH\in \mathrm{GL}_n[/mm], also invertierbar ist. Für genügend kleines t ist das der Fall. (Ist dir klar, warum?)
Wenn ich diese Gleichung nach t ableite, bekomme ich
[mm] \bruch{d}{dt}((X+tH)*f(X+t*H)) = 0[/mm].
Dies schreibe ich in Komponenten hin; das Matrixelement mit den Indizes ik ist:
[mm] \bruch{d}{dt} \summe_{j=1}^n (X_{ij}+tH_{ij}) f_{jk}(X+tH) = 0 [/mm].
Da rechne ich die Ableitung nach Produkt- und Kettenregel aus:
[mm] \bruch{d}{dt} \summe_{j=1}^n (X+tH)_{ij} f_jk(X+tH) = \summe_{j=1}^n \left(\bruch{d}{dt} (X_{ij}+tH_{ij}) \right) f_{jk}(X+tH) + \summe_{j=1}^n(X_{ij}+tH_{ij}) \bruch{d}{dt}f_{jk}(X+tH)[/mm]
[mm] = \summe_{j=1}^n H_{ij}f_{jk}(X+tH) + \summe_{j=1}^n(X_{ij}+tH_{ij}) \bruch{d}{dt}f_{jk}(X+tH)[/mm]
[mm] = \summe_{j=1}^n H_{ij}f_{jk}(X+tH) +\summe_{j=1}^n(X_{ij}+tH_{ij}) \summe_{l,m=1}^n \bruch{\partial f_{jk}}{\partial X_{lm}} \bruch{d}{dt} (X_{lm}+tH_{lm}) [/mm]
[mm] = \summe_{j=1}^n H_{ij}f_{jk}(X+tH) +\summe_{j=1}^n(X_{ij}+tH_{ij}) \summe_{l,m=1}^n \bruch{\partial f_{jk}}{\partial X_{lm}} H_{lm} [/mm]
Die partiellen Ableitungen
[mm] \bruch{\partial f_{jk}}{\partial X_{lm}} [/mm]
sind die Matrixelemente der Jacobimatrix von f (eine [mm]n^2\times n^2[/mm]-Matrix, sodass diese Gleichung in Matrixschreibweise lautet:
[mm] H*f(X+tH) + (X+tH) * D_{f(X)}H = 0 [/mm]
Setze t=0 ein!
> Ich habe noch eine Frage zu deiner Variante (die ich
> ehrlich gesagt nicht so verstanden habe...), wieso kann man
> die linke Seite so schreiben wie du und wieso muss man da
> nur auf t=0 einschränken??
Was ich hingeschrieben habe, ist die Richtungsableitung von f in Richtung von H. Der Zusammenhang mit [mm]D_{f(X)}[/mm] ist nicht schwer zu verstehen: wenn f total diff'bar ist, so ist nach eurer Definition
[mm]\lim_{h\rightarrow 0}\bruch{\|f(x+h)-f(x)-D_{f(X)}h\|}{\|h\|}=0[/mm]
Jetzt betrachte ich einen Spezialfall, nämlich [mm]h=tH[/mm] für ein festes H und lasse t gegen 0 gehen:
[mm]\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{\|f(x+tH)-f(x)-D_{f(X)}(tH)\|}{\|tH\|}=0[/mm]
Den Bruch schreibe ich um, indem ich Zähler und Nenner durch |t| dividiere:
[mm]\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{\|f(x+tH)-f(x)-D_{f(X)}(tH)\|}{\|tH\|} = \lim_{t\rightarrow 0}\bruch{\|\bruch{1}{t}(f(x+tH)-f(x))-D_{f(X)}H\|}{\|H\|} = \bruch{1}{\|H\|} \left\|\lim_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tH)-f(x)}{t} -D_{f(X)}H\right\|[/mm]
Dies ist 0, also ist
[mm] D_{f(X)} H = \lim_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tH)-f(x)}{t} [/mm]
Die rechte Seite ist aber nichts Anderes als der Limes des Differenzenquotienten an der Stelle t=0, also ist die rechte Seite die Ableitung von [mm]f(x+tH)[/mm] an der Stelle t=0.
> Fehlt da auf der rechten Seite
> nicht noch ein H? wenn man t auf 0 einschränkt, fällt doch
> sowieso das t*H weg und es bleibt nur noch f(X) stehen,
Erst ableiten, dann einschränken.
Viele Grüße
Rainer
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