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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Matrixgleichung
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Matrixgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Do 16.01.2014
Autor: Mathics

Aufgabe
Lösen Sie die folgende Matrixgleichung auf.

[mm] (X^T [/mm] * [mm] A)^T [/mm] + [mm] (A^T [/mm] - [mm] X)^2 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + B - XB

Hallo,
ich habe folgendes gerechnet:

[mm] (X^T [/mm] * [mm] A)^T [/mm] + [mm] (A^T [/mm] - [mm] X)^2 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + B - XB

[mm] A^T [/mm] * X + [mm] (A^T)^2 [/mm] - [mm] A^T [/mm] * X - [mm] X*A^T [/mm] + [mm] X^2 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + B - XB

[mm] (A^T)^2 [/mm] - [mm] XA^T [/mm] = B - XB

[mm] -XA^T [/mm] + XB = [mm] B-(A^T)^2 [/mm]

[mm] X*(-A^T [/mm] + B) = B - [mm] (A^T)^2 [/mm]

X = [mm] (B-(A^T)^2) [/mm] * [mm] (-A^T [/mm] + B)^-1


In den Lösungen steht jedoch: X = [mm] ((A^T)^2 [/mm] - B) * [mm] (A^T-B)^-1 [/mm]


Ich finde jedoch meinen Fehler nicht und wollte mal nachfragen, welches denn nun richtig ist?


LG
        
Bezug
Matrixgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Do 16.01.2014
Autor: MathePower

Hallo Mathics,

> Lösen Sie die folgende Matrixgleichung auf.
>  
> [mm](X^T[/mm] * [mm]A)^T[/mm] + [mm](A^T[/mm] - [mm]X)^2[/mm] = [mm]X^2[/mm] + B - XB
>  Hallo,
>  ich habe folgendes gerechnet:
>  
> [mm](X^T[/mm] * [mm]A)^T[/mm] + [mm](A^T[/mm] - [mm]X)^2[/mm] = [mm]X^2[/mm] + B - XB
>  
> [mm]A^T[/mm] * X + [mm](A^T)^2[/mm] - [mm]A^T[/mm] * X - [mm]X*A^T[/mm] + [mm]X^2[/mm] = [mm]X^2[/mm] + B - XB
>  
> [mm](A^T)^2[/mm] - [mm]XA^T[/mm] = B - XB
>
> [mm]-XA^T[/mm] + XB = [mm]B-(A^T)^2[/mm]
>  
> [mm]X*(-A^T[/mm] + B) = B - [mm](A^T)^2[/mm]
>  
> X = [mm](B-(A^T)^2)[/mm] * [mm](-A^T[/mm] + B)^-1
>  
>
> In den Lösungen steht jedoch: X = [mm]((A^T)^2[/mm] - B) *
> [mm](A^T-B)^-1[/mm]
>  
>
> Ich finde jedoch meinen Fehler nicht und wollte mal
> nachfragen, welches denn nun richtig ist?
>  


Beide Ergebnisse sind richtig, da

[mm](B-(A^T)^2)=-\left( \ \left(A^{T}\right)^{2}-B \ \right)[/mm]

[mm](-A^T + B)^-1=\left( \left(-1\right) \left(A^{T}-B\right) \ \right)^{-1}=\left(-1\right)^{-1}*\left(A^{T}-B\right)^{-1}=\left(-1\right)*\left(A^{T}-B\right)^{-1}[/mm]


>
> LG


Gruss
MathePower
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