Matrixgleichung lösen. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 So 02.12.2012 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | Gleichung lösen. das bedeuted nach x umstellten und nullstellen bestimmen.
[mm] \vmat{ a+x & b & c \\ b & c+x & a \\ c & a & b+x } [/mm] = 0
Ergenisse sind:
x1 = -(a+b+c)
x2/3 = [mm] \pm \wurzel{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc} [/mm] |
Ich habe Probleme und sitze bereits einiges stunden dran und komme einfach nicht auf das richtige ergebniss.
Ich weiß ich muss eine Determinante nach sarrusch bilden. Habs mit ausmusltiplizieren versucht mit ausklammern alles was mir eingefallen ist.
Bin eigentlich davon ausgegangen das ich nachdem ich alles ausmultipliziert habe x-terme und nicht-x-terme durch = voneinander trenne, sodass ich x ausklammern kann und die erste nullstelle habe mit ner hinrecihenden bedingung.
da habe ich allerdings dann:
x1 = a³+b³+c³-3abc
Hat jemand Lust mir den Rechenweg bzw. einen tipp geben was ich beachten muss ? wo der Knackpunkt liegt ? Was ich vllt falsch gemacht habe ?
Wäre echt dankbar. schreibe am 3.12.12 nee probeklausur in mathe. Wäre schön wenn ich da vorher noch nee antwort bekäme :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 So 02.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich hab deine Matrix mal korrigiert.
Bitte denke nächstes mal an die & zwischen den einzelnen Komponenten.
MFG,
Gono.
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Hiho,
schreib deine Gleichung nach der Regel von Sarrus doch mal hin, dann sieht man auch, wo du Fehler machst.... oder eben nicht.
Nur die Aufgabe und deine Lösung.... da können wir nur raten, wo deine Fehler sind. Und das wird hier niemand tun.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 So 02.12.2012 | | Autor: | arti8 |
$ [mm] \vmat{ a+x & b & c \\ b & c+x & a \\ c & a & b+x } [/mm] $ = 0
ok nachdem ich die sarrusch mehtode angewendet habe, habe ich folgende gleichung aufgestellt
(a+x)(c+x)(b+x)+abc+abc-c²(c+x)-a²(a+x)-b²(b+x)=0 /ausmultiplizieren
3abc+acx+bcx+cx²+abx+ax²+bx²+x³-c³-c²x-a³-a²x-b³-b²x = 0 /nicht-x-terme auf die andere seite
acx+bcx+cx²+abx+ax²+bx²+x³-c²x-a²x-b²x = -3abc+a³+b³+c³ / x ausklammern
x(ac+bc+cx+ab+ax+bx+x²-c²-a²-b²) = -3abc+a³+b³+c³ / 1.hinr. Bed. x1=-3abc+a³+b³+c³
und dann hätte ich weiter gemacht mit
ac+bc+cx+ab+ax+bx+x²-c²-a²-b² = -3abc+a³+b³+c³
und hätte versucht das nächste x auszuklammern oder eher die pq-formel angewandt.
Aber da das ergbnis falsch war, hab ich nicht mehr weitergerechnet sondern nach fehlern gesucht.
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> [mm]\vmat{ a+x & b & c \\
b & c+x & a \\
c & a & b+x }[/mm] = 0
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> ok nachdem ich die sarrusch mehtode angewendet habe, habe
> ich folgende gleichung aufgestellt
>
> (a+x)(c+x)(b+x)+abc+abc-c²(c+x)-a²(a+x)-b²(b+x)=0
> /ausmultiplizieren
>
> 3abc+acx+bcx+cx²+abx+ax²+bx²+x³-c³-c²x-a³-a²x-b³-b²x = 0 /nicht-x-terme auf die andere seite
Hallo,
das sieht richtig aus.
Sortieren wir ein bißchen, so hast Du
[mm] x^3+(a+b+c)x^2+(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)x+(3abc -a^3-b^3-c^3)=0,
[/mm]
also eine Gleichung 3. Grades, für welche man das Lösungsverfahren normalerweise nicht im Kopf hat.
Möglicherweise würde man hier durch Raten auf die Lösung [mm] x_1=-(a+b+c) [/mm] kommen können, danach würde man den Faktor (x+a+b+c) ausklammern, di Gleichung als schreiben als [mm] (x+a+b+c)*(...x^2+...x+...)=0,
[/mm]
und nun hätte man nach dem Satz vom Nullprodukt noch eine quadratische Gleichung zu lösen.
Du hast aber noch eine andere Möglichkeit, bei welcher Du ohne zu raten auskommst, und welche zudem noch viel bequemer ist:
Du hast bestimmt gelernt, daß man gewisse Zeilen- und Spaltenumformungen machen darf, ohne daß sich die Determinante verändert.
Addiere man zur 1.Spalte die 2. und 3. Spalte.
Nun hast Du in der kompletten 1. Spalte dieselben Eintrage stehen.
Wenn Du jetzt von der 2. und 3.Spalte die 1. Spalte subtrahierst, hast Du eine Determinante der Gestalt
[mm] $\vmat{ \* & \* & \* \\ 0& \* & \* \\ 0 & \* & \*}$ [/mm] = 0 .
Wenn Du diese nun nach der 1. Spalte nach Laplace entwickeltst, bist Du weiter...
Generell: bei Determinanten in Klausuren nie blindlings losrechnen, sondern immer erstmal gucken, wie man sich das Leben einfacher machen kann. Das Leben mit Determinanten wird einfacher, wenn man Nullen erzeugt.
LG Angela
> acx+bcx+cx²+abx+ax²+bx²+x³-c²x-a²x-b²x =
> -3abc+a³+b³+c³ / x ausklammern
> x(ac+bc+cx+ab+ax+bx+x²-c²-a²-b²) = -3abc+a³+b³+c³ /
> 1.hinr. Bed. x1=-3abc+a³+b³+c³
>
>
> und dann hätte ich weiter gemacht mit
> ac+bc+cx+ab+ax+bx+x²-c²-a²-b² = -3abc+a³+b³+c³
> und hätte versucht das nächste x auszuklammern oder eher
> die pq-formel angewandt.
> Aber da das ergbnis falsch war, hab ich nicht mehr
> weitergerechnet sondern nach fehlern gesucht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 02.12.2012 | | Autor: | arti8 |
Nachdem ich das nun so gemacht habe wie du es beschrieben hast, also in der 1.spalte nullen zu erzeugen habe ich nachdem laplsche entwicklungssatz wieder genau das raus was du bereits oben ausgeklammert dargestellt hast.
Du hast übrigens die "+3abc" vergessen.
ALso bin ich wieder beim alten problem.
$ [mm] x^3+ x^2(a+b+c)+x(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)+(-a^3-b^3-c^3)+3abc=0, [/mm] $
hast du vllt noch einen weitern tipp ?`
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Hallo arti8,
> Nachdem ich das nun so gemacht habe wie du es beschrieben
> hast, also in der 1.spalte nullen zu erzeugen habe ich
> nachdem laplsche entwicklungssatz wieder genau das raus was
> du bereits oben ausgeklammert dargestellt hast.
> Du hast übrigens die "+3abc" vergessen.
> ALso bin ich wieder beim alten problem.
>
> [mm]x^3+ x^2(a+b+c)+x(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)+(-a^3-b^3-c^3)+3abc=0,[/mm]
>
> hast du vllt noch einen weitern tipp ?'
Versuche das Polynom zu faktorisieren:
[mm]x^3+ x^2(a+b+c)+x(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)+(-a^3-b^3-c^3)+3abc[/mm]
[mm]=x^{2}*\left(x+a+b+c\right)+x(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)+(-a^3-b^3-c^3)+3abc[/mm]
Nun musst Du noch den linearen
und konstanten Anteil genauso faktorisieren.
Gruss
MathePower
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> Nachdem ich das nun so gemacht habe wie du es beschrieben
> hast, also in der 1.spalte nullen zu erzeugen habe ich
> nachdem laplsche entwicklungssatz wieder genau das raus was
> du bereits oben ausgeklammert dargestellt hast.
Hallo,
Du hattest die Determinante ja richtig berechnet, von daher wäre es beunruhigend, wäre etwas anderes herausgekommen.
Es geht ja lediglich darum, wie man mit wenig Aufwand zum Ergebnis kommt.
Du hattest nach den Umformungen
$ [mm] \vmat{ x+a+b+c & * & * \\ 0& * & * \\ 0 & * & *} [/mm] $ = 0
zu Lösen.
Mit Laplace hast $ [mm] (x+a+b+c)*(2\times [/mm] 2-Det)=0.$
Wenn Du ein Ergebnis so schön faktorisiert dastehen hast, solltest Du nicht ausklammern! Du kannst hier sofort ablesen, daß dieGleichung gelöst ist, wenn x+a+b+c=0 oder [mm] (2\times [/mm] 2-Det)=0.
Die [mm] 2\times [/mm] 2-Det ist ein quadratisches Polynom, desses Nullstellen man leicht bestimmen kann.
LG Angela
> Du hast übrigens die "+3abc" vergessen.
> ALso bin ich wieder beim alten problem.
>
> [mm]x^3+ x^2(a+b+c)+x(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)+(-a^3-b^3-c^3)+3abc=0,[/mm]
>
> hast du vllt noch einen weitern tipp ?'
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 05.12.2012 | | Autor: | arti8 |
Also ich habe dann:
(a+b+c+x)*(-a²-b²-c²+x²+ac+ab+cb) = 0
Wie komme ich aber jetzt aus diesem Produkt zu "x1" ?
Kann ich das im allgemeinen auf 2 Gleichungen, weil es ein Produkt ist, aufteilen ?
also
1.) a+b+c+x=0
2.) -a²-b²-c²+x²+ac+ab+cb=0
und dann umstellen nach x ? weil ich kann ja nicht einfach durch 0 teilen um es aus die andere seite zu bringen. Mein Hinderniss hier ist nur das Produkt.
Und wie drücke ich sowas mathematisch aus ? (mit hinr. Bed. ?)
Ich bedanke mich schonmal herzlichst das ihr mir so unter die arme greift :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mi 05.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Aufteilen in 2 Gl. ist richtig, weil ein produkt 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Mi 05.12.2012 | | Autor: | arti8 |
Ok danke.
Das dass Produkt 0 ist verstehe ich. Weil die Gleichung null ergeben soll/muss. Aber das mit dem Faktor habe ich nicht verstanden.
Könnte ich den auch einfach diese Gleichung in 2 teilen ?
(x³-a)*(x-b+a)=0
1.) x³-a = 0
2.) x-b+a = 0
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> Ok danke.
>
> Das dass Produkt 0 ist verstehe ich. Weil die Gleichung
> null ergeben soll/muss. Aber das mit dem Faktor habe ich
> nicht verstanden.
Hallo,
wenn man 2 Zahlen multipliziert und dabei 0 rauskommt, so muß es so sein, daß eine der beiden Zahlen =0 ist. Sonst käme ja nicht 0 heraus.
(Probier's doch aus: findest Du zwei von 0 verschiedene Zahlen, die miteinander multipliziert 0 ergeben?)
Also : s*t=0 ==> s=0 oder t=0.
> Könnte ich den auch einfach diese Gleichung in 2 teilen ?
>
> (x³-a)*(x-b+a)=0
Dieses Produkt kann nur 0 ergeben, wenn einer der Faktoren =0 ist, wenn also
>
> 1.) x³-a = 0
oder
> 2.) x-b+a = 0 .
LG Angela
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