Matrix^m < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Sei F ein Körper und m [mm] \in\ [/mm] IN+. Sei A [mm] \in F^{mxm} [/mm] und sei I [mm] \in F^{mxm} [/mm] die Einheitsmatrix. wir setzen [mm] A^0 [/mm] := I, [mm] A^1 [/mm] := A und [mm] A^{k+1} [/mm] für [mm] k\in\ [/mm] IN.
(i) Sei N = [mm] (a_j^i) \in F^{mxm} [/mm] eine Matrix mit [mm] a_j^i [/mm] = 0 für i>= j. Zeigen Sie, dass [mm] N^m [/mm] = 0 gilt. |
hallo liebes Forum^^
bei dieser aufgabe komm ich einfach nicht weiter
1. damit ich es richtig verstehe, (i) sagt aus, dass wenn ich die matrix N mit sich selbst m mal multipliziere (so viele spalten und zeilen sie hat) das ich die Nullmatrix raus bekomme?
2. wie beweise ich das? ich habe mir um des mir vorstellen zu können mal mit einer 3x3 matrix vorgerechnet und es kam tatsächlich die nullmatrix herraus, doch jetzt fehlt mir der ansatz wie ich es beweisen soll, habe gedacht es irgendwie mit der formel der Martixmultiplikation zu versuchen, aber da scheiterte ich wieder am "wie"
mir ist zwar bewusst, dass die zeilen unter der diagonalen null ist und die diagole auch, und das mit jedem mal multiplizieren eine nulldiagonale dazu kommt, aber ich zeig ich das?
sorry wenn ich irgendwie komisch schreibe, aber ich bin echt verzweifelt xD
LG Ray
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde es mit Induktion versuchen.
Ist N eine 2 x 2 Matrix mit der genannten Eigenschaft (obere Dreiecks Matrix), also [mm] N=\pmat{ 0& N_{12} \\ 0 & 0 }, [/mm] dann gilt [mm] N^2=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt sei N eine (m+1) x (m+1) Matrix mit der Eigenschaft eine obere Dreiecksmatrix zu sein. Dann kann man N zerlegen in
[mm] N=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 } [/mm] mit M ist eine m x m obere Dreiecks Matrix.
Es gilt [mm] N^2=\pmat{ M^2 & M*A \\ 0 & 0 } [/mm] und deshalb auch
[mm] N^{m+1}=\pmat{ M^{m+1} & M^m*A \\ 0 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] weil [mm] M^m=0 [/mm] und auch [mm] M^{m+1}=0 [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
hallo^^ danke für die schnelle antwort, ich hätt da aber noch ein paar fragen
also den induktionsstart mit der 2x2 matrix versteh ich^^ danke schön
die induktionsvorraussetzung ist dann wohl das [mm] N^{m} [/mm] =0 ist oder?
kann ich dann nicht einfach [mm] N^{m+1} [/mm] = N * [mm] N^{m} [/mm] machen und dann laut induktionsvorraussetzung sagen, dass es dann N* 0 wäre und dann [mm] N^{m+1} [/mm] auch null ist?
weil mir ist leider noch nciht klar wieso [mm] M^{m+1} [/mm] und [mm] M^m [/mm] =0 sind
das A ist bei dir/ihnen nur ein platzhalter oder? und die zeilen aus der unteren zeile wurden auch weggelassen weil es eh "nur" nuller sind oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 So 14.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> hallo^^ danke für die schnelle antwort, ich hätt da aber
> noch ein paar fragen
>
> also den induktionsstart mit der 2x2 matrix versteh ich^^
> danke schön
> die induktionsvorraussetzung ist dann wohl das [mm]N^{m}[/mm] =0
> ist oder?
> kann ich dann nicht einfach [mm]N^{m+1}[/mm] = N * [mm]N^{m}[/mm] machen und
> dann laut induktionsvorraussetzung sagen, dass es dann N* 0
> wäre und dann [mm]N^{m+1}[/mm] auch null ist?
>
Das geht so nicht, denn es muss ja nicht nur die Potenz m um 1 erhöht werden, sondern auch die Dimension der Matrix muss von m x m auf (m+1) x (m+1) erhöht werden.
> weil mir ist leider noch nciht klar wieso [mm]M^{m+1}[/mm] und [mm]M^m[/mm]
> =0 sind
M ist eine m x m obere Dreiecksmatrix. Nach Induktionsvoraussetzung ist die m'te Potenz einer m x m oberen Dreiecksmatrix die Null Matrix. Damit ist auch [mm] M^{m+1}=M^m*M=0*M=0 [/mm] eine Null Matrix.
> das A ist bei dir/ihnen nur ein platzhalter oder?
Ja, das ist eine beliebige m x 1 Matrix
> und die zeilen aus der unteren zeile wurden auch weggelassen weil
> es eh "nur" nuller sind oder?
>
Die 0 unten links in der Matrix N ist eine 1 x m Matrix mit lauter Nullen und die 0 unten rechts ist eine skalare 0, wenn Du so willst eine 1 x 1 Matrix mit 0.
Damit setzt sich die Matrix N aus einer m x m Matrix M, einer m x 1 Matrix A, einer 1 x m Matrix 0 und einer 1 x 1 Matrix 0 zusammen. Insgesamt also ergibt sich die Matrix N zu einer (m+1) x (m+1) Matrix.
Ich glaube das ganze läuft auch unter dem Begriff Kästchen Multiplikation von Matrizen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 So 14.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
cool danke^^, jetzt nur noch den zwischenschritt, damit ich den richtig hinschreibe
also induktionsannahme ist [mm] N^{m} [/mm] = 0
induktionsschritt dann für m =m+1
[mm] N^{m+1} [/mm] = [mm] N^{1} [/mm] * [mm] N^{m}
[/mm]
= [mm] \pmat{ M & A \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ M^{m} & M^{m-1} \\ 0 & 0 }
[/mm]
= [mm] \pmat{M^{m+1} & M^{m} A \\ 0 & 0}
[/mm]
und dass es [mm] M^{m-1} [/mm] bei [mm] N^{m} [/mm] muss ich des irgendwie beweisen oder reicht es durch überlegen?
sorry ich weiß das ich nerv aber ich muss so was immer 100% verstehen xD... oder zumindest 60% xD
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 So 14.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
richtig heist es für [mm] N^{m+1}
[/mm]
[mm] N^{m+1}=N*N^m=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }*\pmat{ M^m & M^{m-1}*A \\ 0 & 0 }. [/mm] Du hattest das A vergessen.
im Prinzip muss man aber den Ausdruck für [mm] N^m [/mm] schon beweisen.
Da [mm] N=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 } [/mm] ist mit den entsprechenden Dimensionen der Teilmatrizen gilt schonmal [mm] N^2=\pmat{ M^2 & A \\ 0 & 0 }
[/mm]
Sei [mm] N^k=\pmat{ M^k & M^{k-1}*A \\ 0 & 0 }, [/mm] gann gilt [mm] N^{k+1}=N^k*N=\pmat{ M^k & M^{k-1}*A \\ 0 & 0 }*\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }=\pmat{ M^{+1} & M^k*A \\ 0 & 0 }
[/mm]
Also ist der Ausdruck auch mittels Induktion bewiesen worden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 14.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
danke schön
ja hab leider das A vergessen, komm mit den formeln hier am PC noch net so gut zurecht
mein problem generell ist: "was weiß ich und was darf ich benutzen"
wie du auf das [mm] N^{k+1} [/mm] kommst ist mir schon klar, aber nehm ich dann nicht schon an das das Ergebnis so aussieht, oder das [mm] N^{k} [/mm] dieses aussehen hat?
muss man nicht auch [mm] N^{1} [/mm] * [mm] N^{k+1} [/mm] machen?`weil eigentlich habe ich die kommukativität noch nicht bewiesen
sorry das ich noch auf dem schlauch steh
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 14.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du Matrizen mit sich selbst multiplizierst brauchst Du die Kommutativität nicht zeigen, da es ja keinen Unterschied zwischen N*N = N*N gibt. Deshalb gilt auch [mm] N^{k+1}=N^k*N=N*N^k, [/mm] das ist nur anders zusammen gefasst.
Vielleicht nochmal grundsätzlich zum Beweis. Der erste Schritt ist der Beweis das eine 2 x 2 obere Dreiecksmatrix 2-mal mit sich selbst multipliziert 0 ergibt (IA)
Nun nimmst Du an das eine m x m obere Dreiecksmatrix m-mal mit sich selbst multipliziert 0 ergibt (IV)
Jetzt schaust Du dir an, wie eine beliebige (m+1) x (m+1) obere Dreiecksmatrix aussehen kann. Da kommst Du auf die Form
[mm] \pmat{ M & A \\ 0 & 0 }. [/mm] Die nimmst Du jetzt (m+1)-mal mit sich selbst mal und kommst auf das Ergebnis
[mm] \pmat{ M^{m+1} & M^m*A \\ 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt wendest Du die IV an und bist fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 14.11.2010 | | Autor: | Ray07 |
okay jetzt hab ich es gepeilt^^
danke für deine geduld
LG Ray
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> richtig heist es für [mm]N^{m+1}[/mm]
>
> [mm]N^{m+1}=N*N^m=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }*\pmat{ M^m & M^{m-1}*A \\ 0 & 0 }.[/mm]
> Du hattest das A vergessen.
>
> im Prinzip muss man aber den Ausdruck für [mm]N^m[/mm] schon
> beweisen.
Ich will das beweisen,weil mir das so nicht einleuchtend ist,aber wie mache ich das?
>
> Da [mm]N=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }[/mm] ist mit den entsprechenden
> Dimensionen der Teilmatrizen gilt schonmal [mm]N^2=\pmat{ M^2 & A \\ 0 & 0 }[/mm]
Das versteh ich nicht.Wieso steht da nicht M*A oben rechts?
>
> Sei [mm]N^k=\pmat{ M^k & M^{k-1}*A \\ 0 & 0 },[/mm] gann gilt
> [mm]N^{k+1}=N^k*N=\pmat{ M^k & M^{k-1}*A \\ 0 & 0 }*\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }=\pmat{ M^{+1} & M^k*A \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Also ist der Ausdruck auch mittels Induktion bewiesen
> worden.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 So 21.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> > Da [mm]N=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }[/mm] ist mit den entsprechenden
> > Dimensionen der Teilmatrizen gilt schonmal [mm]N^2=\pmat{ M^2 & A \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Das versteh ich nicht.Wieso steht da nicht M*A oben
> rechts?
Du hast Recht, das habe ich vergessen, sonst würde auch der Rest nicht stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi,
>
> richtig heist es für [mm]N^{m+1}[/mm]
>
> [mm]N^{m+1}=N*N^m=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }*\pmat{ M^m & M^{m-1}*A \\ 0 & 0 }.[/mm]
> Du hattest das A vergessen.
>
> im Prinzip muss man aber den Ausdruck für [mm]N^m[/mm] schon
> beweisen.
Ja,wieso gilt denn [mm] N^{m}=\pmat{ M^m & M^{m-1}*A \\ 0 & 0 } [/mm] ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Hamada |
Rechne mal [mm] $N^{3}$ [/mm] aus, dann wirds ersichtlich:
[mm] $N^{3}=\pmat{M & A \\ 0 & 0}^{3}=\pmat{M & A \\ 0 & 0} \cdot \pmat{M & A \\ 0 & 0} \cdot \pmat{M & A \\ 0 & 0}=\pmat{M^{2} & M\cdot A \\ 0 & 0} \cdot \pmat{M & A \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{M^{3} & M^{2}\cdot A \\ 0 & 0}$
[/mm]
daher gilt:
[mm] $N^m=\pmat{ M^m & M^{m-1}\cdot{}A \\ 0 & 0 }. [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,ich mache grad dieselbe Aufgabe.
> ich würde es mit Induktion versuchen.
>
> Ist N eine 2 x 2 Matrix mit der genannten Eigenschaft
> (obere Dreiecks Matrix), also [mm]N=\pmat{ 0& N_{12} \\ 0 & 0 },[/mm]
> dann gilt [mm]N^2=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Jetzt sei N eine (m+1) x (m+1) Matrix mit der Eigenschaft
> eine obere Dreiecksmatrix zu sein. Dann kann man N zerlegen
> in
>
> [mm]N=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 }[/mm] mit M ist eine m x m obere
> Dreiecks Matrix.
Wie kommst du drauf,dass [mm] N=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 } [/mm] ist? Was ist hier das A und das M und wieso steht da aufeinmal M anstatt 0?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 20.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
N ist eine strikte obere Dreiecksmatrix, also hat N die Form
[mm] N=\pmat{ 0 & N_{12} & ... & N_{1, n} & N_{1, n+1}\\ 0 & 0 & ... & N_{2, n} & N_{2, n+1} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 & N_{n, n+1} \\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 }
[/mm]
mit [mm] M=\pmat{ 0 & N_{12} & ... & N_{1, n} \\ 0 & 0 & ... & N_{2, n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 }
[/mm]
[mm] A=\pmat{ N_{1, n+1}\\ N_{2, n+1} \\ ... \\ N_{n, n+1} } [/mm]
[mm] B=\pmat{ 0 & 0 & ... & 0 }
[/mm]
[mm] C=\pmat{0} [/mm] folgt
[mm] N=\pmat{ M & A \\ B & C }=\pmat{ M & A \\ 0 & 0 } [/mm] wobei die Nullen die richtige Matrix Dimension besitzen.
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