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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:59 So 20.11.2016 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi:V\rightarrow [/mm] W eine lin. Abb. euklidischer VRe V und W mit dimV=n und dimW=m. Beweisen Sie die Ungleichung
[mm] ||\phi||\le ||\phi||_{F}\le \wurzel{min\{n,m\}}*||\phi||
[/mm]
wobei [mm] ||\phi|| [/mm] die Spektralnorm und [mm] ||\phi|_{F} [/mm] die Frobeniusnorm von [mm] \phi [/mm] ist. |
Hallo,
die Spektralnorm ist folgend def.:
[mm] ||\phi||=\underbrace{max}_{i=1,...,n}\sigma_i
[/mm]
Frobeniusnorm: [mm] ||\phi||_{F}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n} \sigma^2_i}
[/mm]
wobei [mm] \sigma_i [/mm] die Singulärwerte sind.
die 1. Ungleichung: [mm] ||\phi||\le ||\phi||_{F}
[/mm]
folgt doch direkt aus der Definition der beiden Normen.
DIe Spektralnorm ist von der euklidischen Norm induzierte Matrixnorm und ist damit die kleinste mit der euklidischen Norm verträgliche Matrixnorm. Die Frobeniusnorm ist auch mit der euklidischen Norm verträglich, muss daher mind. so groß wie die Spektralnorm sein.
zur 2. Ungleichung:
[mm] ||\phi||_{F}\le \wurzel{min\{n,m\}}*||\phi||
[/mm]
Sei A die zugehörige Matrix zu der lin. Abb [mm] \phi [/mm] und sei
[mm] A=P^{-1}DQ [/mm] die Singulärzerlegung , P,Q orthogonal
dann ist [mm] ||A||_F=\wurzel{ spur(A^tA)}=\wurzel{Spur((Q^{-1}D^tP)(P^{-1}DQ))}=\wurzel{spur(Q^{-1}D^tDQ)}=\wurzel{spur(D^tD)}=\wurzel{\summe_{i=1,...,n}^n\sigma_i^2}\le \wurzel{ min\{n,m\}*\underbrace {max}_{i=1,..,n}\sigma_i^2}\=
[/mm]
[mm] \wurzel{ min\{n,m\}}*\wurzel{\underbrace{max}_{i=1,...,n}\sigma_i^2}= \wurzel{ min\{n,m\}}*\underbrace{max}_{i=1,...,n}\sigma_i=\wurzel{ min\{n,m\}}*||A||
[/mm]
habe ich es damit bewiesen?
Dankeschön im Voraus,
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 23.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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