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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 06.12.2005 | | Autor: | chrisb |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Man zeige, dass die von der Matrixnorm [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \max_{i} |x_{i} [/mm] | für x = [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] induzierte Matrixnorm gilt:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] max_{j} \summe_{k=1}^{n} |a_{jk} [/mm] |. Dabei ist die von einer Vektornorm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] induzierte Matrixnorm gegeben durch [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] sup_{x\not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel} [/mm] .
Muss ich nun zeigen, dass [mm] \max_{j} \summe_{k=1}^{n} |a_{jk} [/mm] | = [mm] \sup_{x\not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel} [/mm] ist?
In einem Buch habe ich folgendes gefunden:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] \max_{j} \summe_{k=1}^{n} |a_{jk} [/mm] | = [mm] \max_{x \not=0} [/mm] { [mm] \bruch{\max_{j} |\summe_{k=1}^{n} a_{jk} x_{k} | }{\max_{k} |x_{k} |} [/mm] } = [mm] \max_{x \not=0} \bruch{\parallel ax \parallel}{\parallel x \parallel}
[/mm]
Könnte man nun wie folgt argumentieren und als letzten Schritt dies hier anfügen:
Wenn es es [mm] \max_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel} [/mm] gibt, gibt es erst recht ein [mm] \sup_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel}, [/mm] also
[mm] \max_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel} [/mm] = [mm] \sup_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel} [/mm] ?
Gruß
christoph
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Hallo Christoph!
> In einem Buch habe ich folgendes gefunden:
> [mm] $\parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] \max_{j} \summe_{k=1}^{n} |a_{jk} [/mm] | [mm] =\max_{x \not=0}\{ \bruch{\max_{j} |\summe_{k=1}^{n} a_{jk} x_{k} | }{\max_{k} |x_{k} |}\}=\max_{x \not=0} \bruch{\parallel ax \parallel}{\parallel x \parallel}$
[/mm]
>
> Könnte man nun wie folgt argumentieren und als letzten
> Schritt dies hier anfügen:
> Wenn es es [mm]\max_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel}[/mm]
> gibt, gibt es erst recht ein [mm]\sup_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel},[/mm]
> also
> [mm]\max_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel}[/mm]
> = [mm]\sup_{x \not=0} \bruch{\parallel Ax \parallel}{\parallel x \parallel}[/mm]
> ?
Dieses Argument könntest du in der Tat verwenden. Aber ist dir klar, warum
[mm] $\max_{j} \summe_{k=1}^{n} |a_{jk} [/mm] | [mm] =\max_{x \not=0}\left\{ \bruch{\max_{j} |\summe_{k=1}^{n} a_{jk} x_{k} | }{\max_{k} |x_{k} |}\right\}$ [/mm] gilt?
Versuch lieber, solide zu argumentieren. Überlege dir zunächst, dass [mm] $\sup\limits_{x\ne 0}\bruch{\|Ax\|}{\|x\|}=\sup\limits_{\|x\|=1}\|Ax\|$ [/mm] gilt.
Dann betrachte den Vektor [mm] $x_0:=\vektor{1\\\vdots\\1}$ [/mm] und überleg dir, dass gerade [mm] $\sup\limits_{\|x\|=1}\|Ax\|=\|Ax_0\|$ [/mm] gilt...
Gruß, banachella
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