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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix T [mm] \in L(\IR^{3},\IR^{3}):
[/mm]
[mm] T:=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 7 & 1 }
[/mm]
Berechnen Sie die Matrixnorm von T, wenn der [mm] \IR^{3} [/mm] jeweils mit der [mm] ||*||_{2}-Norm [/mm] ausgestattet ist. |
Hallo!
ich habe ein paar Probleme beim Bestimmen der Matrixnorm:
es ist ja so definiert:
[mm] ||T||_{L(\IR^{3},\IR^{3})} [/mm] = ||T|| := [mm] sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{\IR^{3}}}{||x||_{\IR^{3}}}
[/mm]
Ist das dann mit der 2-Norm so:
||T|| := [mm] sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{2}}{||x||_{2}} [/mm] ?
Und mit der 2-Norm ausgerechnet sieht das dann ja so aus:
||T|| := [mm] sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|-5x_{2}+5x_{3}|^{2}+|7x_{2}+x_{3}|^{2}}}{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+|x_{3}|^{2}}}
[/mm]
oder?
Aber wie berechne ich dann das sup?
Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Grüßle, Lily
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> Gegeben sei die Matrix T [mm]\in L(\IR^{3},\IR^{3}):[/mm]
> [mm]T:=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & -5 & 5 \\
0 & 7 & 1 }[/mm]
>
> Berechnen Sie die Matrixnorm von T, wenn der [mm]\IR^{3}[/mm]
> jeweils mit der [mm]||*||_{2}-Norm[/mm] ausgestattet ist.
> Hallo!
> ich habe ein paar Probleme beim Bestimmen der Matrixnorm:
> es ist ja so definiert:
> [mm]||T||_{L(\IR^{3},\IR^{3})}[/mm] = ||T|| := [mm]sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{\IR^{3}}}{||x||_{\IR^{3}}}[/mm]
>
> Ist das dann mit der 2-Norm so:
> ||T|| := [mm]sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{||Tx||_{2}}{||x||_{2}}[/mm]
Das ist ein guter Anfang. Man kann zeigen, dass
[mm]\Vert A\Vert_2 =\sup_{x\in\IR^n\setminus\{0\}}\frac{\Vert Ax\Vert_2}{\Vert x\Vert_2}=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}[/mm]
für zu den euklidischen Normen zugehörigen Matrixnormen gilt. (Ja schlechter Satzbau).
Hierbei ist [mm] $\lambda_{\max}(A^TA)$ [/mm] der bertragsgrößte Eigenwert von von $A^TA$.
> ?
>
> Und mit der 2-Norm ausgerechnet sieht das dann ja so aus:
> ||T|| := [mm]sup_{x \in \IR^{3} ohne 0} \bruch{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|-5x_{2}+5x_{3}|^{2}+|7x_{2}+x_{3}|^{2}}}{\wurzel{|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+|x_{3}|^{2}}}[/mm]
>
> oder?
>
> Aber wie berechne ich dann das sup?
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> Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Du bist richtig gelaufen und dann falsch abgebogen.
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> Grüßle, Lily
Grüße zurück
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mo 30.07.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ah, danke! Hab das gerade auch von einer Kommilitonin erklärt bekommen 
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