Matrixnormen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Allerseits!
Ich lese hier gerade das Buch von Hämmerlin/Hoffmann und verstehe dort Einiges nicht. Sogar die Schreibweise macht Probleme. Ich fange einfach mal ab dem Punkt an, wo ich Schwierigkeiten habe:
"[..] Eine [mm]\left(m\times n\right)\texttt{--Matrix}[/mm] vermittelt eine lineare Abbildung eines [mm]n\texttt{--dimensionalen}[/mm] linearen Raums [mm]\left(X,\lVert \cdot{} \rVert_X\right)[/mm] in einem [mm]m\texttt{--dimensionalen}[/mm] linearen Raum [mm]\left(Y,\lVert \cdot{} \rVert_Y\right)[/mm]."
Was bedeutet die Schreibweise [mm]\lVert \cdot{} \rVert_{\text{gro"ser Buchstabe}}\;\textcolor{magenta}{\left(\star\right)}[/mm]? Kann mir jemand ein Beispiel für so eine Norm geben?
"Für diese Abbildung gilt stets die Abschätzung
[mm]\lVert Ax \rVert_Y \leqslant C\lVert x \rVert_X[/mm]
mit einer Zahl [mm]C > 0[/mm].
Also zunächst einmal würde ich gerne wissen, was diese Abschätzung aussagen soll? Die berühmte Frage nach dem tieferen Sinn. 
Denn zu den Normen [mm]\lVert \cdot{} \rVert_X[/mm] und [mm]\lVert \cdot{} \rVert_Y[/mm] auf [mm]\mathbb{C}^n[/mm] existiert die Zahl
[mm]\lVert A \rVert := \sup_{x \in \mathbb{C}^n-\{0\}}\frac{\lVert Ax \rVert_Y}{\lVert x \rVert_X} = \max_{\lVert x \rVert_X = 1}\lVert Ax \rVert_Y[/mm]
Also bei der ersten Darstellung mit dem Supremum verstehe ich den Sinn für das Supremum nicht. [mm]\frac{\lVert Ax \rVert_Y}{\lVert x \rVert_X}[/mm] ist doch bloß eine Zahl, ein konkreter Wert, oder nicht? Dann braucht man doch die [mm]\sup\texttt{--Operation}[/mm] nicht anzuwenden, denn [mm]\sup\,\texttt{''Zahl''} = \texttt{''Zahl''}[/mm]? Ich vermute deshalb, daß es sich bei der Schreibweise [mm]\textcolor{magenta}{\left(\star\right)}[/mm] um "etwas mehr" als nur eine Norm handelt, denn mit der darauffolgenden [mm]\max\texttt{--Schreibweise}[/mm] kann ich überhaupt nichts mehr anfangen. Wieso nimmt man das Maximum von einer Zahl und was bedeutet das Argument [mm]\lVert x \rVert_X = 1[/mm] unter dem [mm]\max[/mm]?
das folgt aus der Tatsache, daß die stetige Funktion [mm]x \to \lVert Ax \rVert_Y[/mm] auf dem Kompaktum [mm]\left\{x \in \mathbb{C}^n\ |\ \lVert x \rVert_X = 1\right\}[/mm] ihr Maximum annimmt.
"Kompaktum" ist wohl hier die allgemeinere Bezeichnung für den Einheitskreis? Dann ist diese stetige Funktion periodisch, oder? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Und wo ist die Beziehung zum obigen [mm]\lVert A \rVert\texttt{--Term}[/mm]?
Ich denke, ich stoppe jetzt erstmal hier, denn die Verständnisprobleme scheinen sich dann anzusammeln, so daß es erstmal keinen Sinn macht, hier noch weiter zu zitieren.
Ich hoffe sehr, daß sich jemand findet, der mir das Obige erklären möchte.
Liebe Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
|
|
| |
|
Hallo Karl und guten Morgen,
also die beiden Vektorr"aume X,Y sollen normiert sein, zu [mm] x\in [/mm] X ist
[mm] \parallel x\parallel_X [/mm] die Norm von x.
Beispiel: Euklidische Norm. Es sei [mm] X=\IR^n [/mm] und fuer [mm] x=(x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_n)\in [/mm] X
[mm] \parallel x\parallel [/mm] = [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}
[/mm]
oder die [mm] L_1-Norm
[/mm]
[mm] \paralle x\paralle [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n |x_i|
[/mm]
Zu solch zwei endlichdim. normierten R"aumen kann man dann den Raum der
linearen Abb. von X nach Y - also, wenn man Basen fuer beide R"aume hat, im wesentlichen der Raum der [mm] m\times [/mm] n Matrizen, [mm] n=\dim [/mm] X, [mm] m=\dim [/mm] Y -
auch mit einer Norm versehen, die sozusagen assoziiert zu den beiden Normen
[mm] \parallel\cdot\parallel_X [/mm] und [mm] \parallel\cdot\parallel_Y [/mm] ist, d.h. man kann die Norm einer
[mm] m\times [/mm] n Matrix definieren, und zwar wie folgt:
[mm] \parallel A\parallel [/mm] = [mm] \sup_{\parallel x\parallel_X =1} \parallel Ax\parallel_Y
[/mm]
= [mm] \sup_{x\neq 0}\frac{\parallel Ax\parallel_Y}{\parallel x\parallel_X}
[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen ist Definition.
Dass das zweite Gleichheitszeichen gilt, folgt aus den Eigenschaften einer Norm
(skalare Multipl., ziehe das [mm] \frac{1}{\parallel x\parallel} [/mm] in die Norm [mm] \parallel Ax\parallel
[/mm]
hinein.
Diese zu den beiden Normen auf X und Y assoziierte Matrixnorm erfuellt die
von Dir genannte Eigenschaft mit [mm] C=\parallel A\parallel [/mm] :
[mm] \parallel Ax\parallel_Y \leq \parallel A\parallel \cdot \parallel x\parallel_X.
[/mm]
Hilft das schon mal weiter ?
Du kannst auch einfach mal noch ein anderes Buch zurate ziehen, zB.
das von Schaback und Werner oder das Buch ueber Funktionalanalysis von
Wilhelm Alt.
Meld Dich auch gern nochmal bei Bedarf.
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
Hallo Mathias! Guten Morgen und Danke für deine Hilfe!
Bis hierhin verstehe ich's:
> Zu solch zwei endlichdim. normierten R"aumen kann man dann
> den Raum der
> linearen Abb. von X nach Y - also, wenn man Basen fuer
> beide R"aume hat, im wesentlichen der Raum der [mm]m\times[/mm] n
> Matrizen, [mm]n=\dim[/mm] X, [mm]m=\dim[/mm] Y -
> auch mit einer Norm versehen, die sozusagen assoziiert zu
> den beiden Normen
> [mm]\parallel\cdot\parallel_X[/mm] und [mm]\parallel\cdot\parallel_Y[/mm]
> ist, d.h. man kann die Norm einer
> [mm]m\times[/mm] n Matrix definieren, und zwar wie folgt:
>
> [mm]\parallel A\parallel[/mm] = [mm]\sup_{\parallel x\parallel_X =1} \parallel Ax\parallel_Y[/mm]
>
> = [mm]\sup_{x\neq 0}\frac{\parallel Ax\parallel_Y}{\parallel x\parallel_X}[/mm]
>
> Das erste Gleichheitszeichen ist Definition.
Ich versuche es nochmal in eigenen Worten. Sei [mm]A \in \mathbb{R}^{m\times n}[/mm]. Seien weiterhin [mm]X := \mathbb{R}^n[/mm] und [mm]Y := \mathbb{R}^m[/mm]. Dann ist [mm]f:X \to Y; f: x \mapsto Ax;[/mm] eine lineare Abbildung. Jetzt nehme ich mir zwei Normen für [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]: [mm]\lVert \cdot{} \rVert_X[/mm] und [mm]\lVert \cdot{} \rVert_Y[/mm]. Bis hierhin ist es jetzt klar. Ich nehme mir einen Vektor [mm]x \in X[/mm], wende [mm]f[/mm] an und erhalte [mm]Ax[/mm]. Jetzt normiere ich dieses Produkt [mm]\lVert Ax \rVert_Y[/mm] und erhalte eine Zahl [mm]\alpha[/mm]. Und was bedeutet nun [mm]\sup_{\lVert x \rVert_X = 1}\alpha[/mm]? Welche Operation ist damit gemeint? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") . Ich lese da: "Finde einen Vektor [mm]x[/mm], der auf 1 normiert ist (also hat [mm]x[/mm] z.B. Länge 1). So ... jetzt multipliziere von links mit [mm]A[/mm], und normiere mit der [mm]Y\texttt{--Norm}[/mm]. Es bleibt nur noch [mm]\sup \alpha[/mm]. Ich verstehe nicht, warum man hier das Supremum einer Zahl betrachtet? Was ist der Sinn einer solchen Definition? Anders gefragt: Wieso hielt man gerade solch eine Definition für "gut"?
Also bin hierhin würde ich's zumindest gerne verstehen...
Liebe Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Hallo Karl,
also es ist (ich lass jetzt mal die Unten-Indices bei den Normen weg, oder ? x ist aus X, dann ist es die Norm [mm] \parallel \cdot\parallel_X, [/mm] Ax aus Y, dann ist es die Norm [mm] \parallel\cdot\parallel_Y [/mm] und so.)
[mm] \sup_{\parallel x\parallel =1}\parallel Ax\parallel
[/mm]
das Supremum einer Menge reeller Zahlen, und zwar der Menge der Zahlen
[mm] \{ Ax | x\in X\:\:\wedge\:\: \parallel x\parallel =1\}.
[/mm]
Dieses Supremum ist dann eine reelle Zahl (die Menge ist zB kompakt),
und es wird definiert, dass die Norm von A diese Zahl sein soll.
Gruss von Bonn nach Bonn,
Mathias
|
|
|
|
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
Es funktioniert. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
