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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Di 09.12.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IR^{mxn} [/mm] , zeigen Sie, dass für die Betragssummen- und zur Maximumsnorm gehörenden Matrixnormen gilt:
(1) [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] 1 = max j=1,....,n [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] |aij| (maximale Spaltenbetragssumme)
(2) [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel \infty [/mm] = max i=1,....,m [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] |aij| (maximale Zeilenbetragssumme)
(3) 1/ [mm] \wurzel{n} \parallel [/mm] A [mm] \parallel \infty \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] 2 [mm] \le \wurzel{m} \parallel [/mm] A [mm] \parallel \infty [/mm] |
Hallo erstmal...
...hab schon wieder eine Frage. Hänge schon seit geraumer Zeit an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Hab natürlich auch schon alle Aufgaben gegoogelt und dachte da könnt ich mir einige Ideen holen aber leider versteh ich auch die Lösungsansätze nicht. Mein Problem ist, dass mein Prof die Matrixnormen nur ganz kurz angeschnitten hat, d.h. ich weis garnicht wie ich mit der Aufgabe umgehen soll und welche Umformungen überhaupt gelten. Den einzigen Ansatz , den ich habe ist, dass [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = sup x [mm] \not= [/mm] 0 [mm] (\parallel [/mm] Ax [mm] \parallel)/(\parallel [/mm] x [mm] \parallel) [/mm] und [mm] \parallel [/mm] AB [mm] \parallel \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel [/mm] und ich mir ziemlich sicher bin, dass das in den Beweis mit einfließen muss, aber wie gesagt, mir fehlt wirklich der Ansatz und es wäre echt lieb wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schonmal im Vorraus.
Liebe Grüße
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M. Hermann: "Numerische Mathematik"; Seiten 75-80;
könnte vll helfen.
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> Es sei A [mm]\in \IR^{mxn}[/mm] , zeigen Sie, dass für die
> Betragssummen- und zur Maximumsnorm gehörenden Matrixnormen
> gilt:
> (1) [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel[/mm]_1 = [mm] \max_{j=1,....,n} \summe_{i=1}^{m}[/mm] [/mm] |aij| (maximale Spaltenbetragssumme)
> (2) [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_{\infty\[/mm] [mm] =\max_{ i=1,....,m }\summe_{j=1}^{n} [/mm] |aij| (maximale Zeilenbetragssumme)
> (3) 1/ [mm]\wurzel{n} \parallel[/mm] A [mm]\parallel_{\infty} \le \parallel[/mm] A [mm] \parallel_2[/mm] [mm]\le \wurzel{m} \parallel[/mm] A [mm]\parallel_{\infty}[/mm]
>
Hallo,
bei 1) und 2) geht es um die induzierte Matrixnom.
Wenn Du eine Norm [mm] \parallel*\parallel_V [/mm] im [mm] \IR^n [/mm] hast (das V soll kennzeichnen, daß es eine Vektornorm ist), so ist die
Abbildung [mm] \parallel*\parallel_M: [/mm] Mat(mxn, [mm] \IR) \to \IR, [/mm] welche durch
[mm] \parallel A\parallel_M:=\sup_{x\not= 0}[/mm] [mm](\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_V)/(\parallel[/mm] x [mm]\parallel_V)[/mm] definiert ist, eine Norm auf dem Matrizrmraum.
Das wurde mit ziemlicher Sicherheit in der Vorlesung gezeigt.
Du sollst nun zeigen, daß die von den Vektornormen [mm] \parallel*\parallel_1 [/mm] und [mm] \parallel*\parallel_{\infty} [/mm] induzierten Matrixnormen gerade so sind wie angegeben, im Fall [mm] \parallel*\parallel_1 [/mm] also die max. Spaltenbetragssumme und bei [mm] \parallel*\parallel_1 [/mm] die maximale Spaltenbetragssumme.
Hierzum mußt Du mit der Def. [mm] \sup_{x\not= 0}[/mm] [mm](\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_V)/(\parallel[/mm] x [mm][mm] \parallel_V) [/mm] der induzierten Norm arbeiten, und zeigen, daß diese gleich der max. Spalten/Zeilenbetragssumme ist.
Man erreicht das, indem man [mm] \sup_{x\not= 0}[/mm] [mm](\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_V)/(\parallel[/mm] x [mm][mm] \parallel_V) [/mm] jeweils nach oben und unten abschätzt.
Ich hoffe, daß Dir jetzt etwas klarer geworden ist, um was es hier geht.
Gruß v. Angela
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