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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen:
(a) Zeige: Ist A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) mit [mm] A^{n}=0, [/mm] so ist [mm] E_{n}+A [/mm] invertierbar. (Hinweis: Betrachte [mm] E_{n} [/mm] - A + [mm] A^{2} \pm...+ (-A)^{n-1}).
[/mm]
(b) Sei G [mm] \subset [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) die Menge der oberen Dreiecksmatrizen mit 1 auf der Diagonalen, d.h.
G:={ [mm] (a_{ij}) \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) [mm] |a_{ij} [/mm] = 0 falls i>j und [mm] a_{ij} [/mm] = 1 falls i=j}
Beweise, dass G eine Gruppe bzgl. der Matrizenmultiplikation ist.
Ich weiß leider nicht, wie ich ansetzen soll.
Wäre dankbar für Tipps
Sinus
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> (a) Zeige: Ist A [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, K) mit [mm]A^{n}=0,[/mm] so ist
> [mm]E_{n}+A[/mm] invertierbar. (Hinweis: Betrachte [mm]E_{n}[/mm] - A + [mm]A^{2} \pm...+ (-A)^{n-1}).[/mm]
Hallo,
multipliziere die Hinweismatrix mit [mm] E_n+A.
[/mm]
>
> (b) Sei G [mm]\subset[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, K) die Menge der oberen
> Dreiecksmatrizen mit 1 auf der Diagonalen, d.h.
> G:= { [mm] (a_{ij}) \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) [mm] |a_{ij} [/mm] = 0 falls i>j
> und [mm] a_{ij}= [/mm] 1 falls i=j }
> Beweise, dass G eine Gruppe bzgl. der
> Matrizenmultiplikation ist.
Weißt du, was eine Gruppe ist?
Die entsprechenden Eigenschaften mußt du nun nachweisen.
-G nichtleer und * innere Verknüpfung sind keine großen Geheimnisse.
-Wenn man das hat, purzelt die Assoziativität ohne Mühe heraus, denn die gilt ja allgemein für Matrizenmultiplikation.
-Ein neutrales Element wird Dir auch einfallen, zum Glück ist es auch wirklich in G.
-Etwas nachdenken muß man übers inverse Element. Da ist Teil a) nützlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Angela,
vielen Dank für den Tipp.
Zu (a) Ich weiß leider gar nicht, wie meine "Hinweismatrix" aussieht. Was bedeutet genau [mm] A^{n}=0? E_{n} [/mm] ist ja die Einheitsmatrix... - wie aber sieht meine Matrix A aus? Und was fange ich genau mit dem Hinweis in der Aufgabe an?
zu (b)
Wie sieht G denn genau aus? Stimmt das:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 }
[/mm]
Wobei G auch eine n x n - Matrix ist (also gleiche Anzehl von Zeilen und Spalten hat)
Ich weiß, was eine Gruppe ist (Assoziativität, Existenz des Neutralen und Existenz des Inversen). Wie kann ich das aber bei einer Matrix überprüfen? Das neutrale Element, könnte die Einheitsmatrix selbst sein, oder? Habe das für eine 3 x 3 - Matrix durchprobiert. Das inverse der Matrix ist doch auch die Einheitsmatrix, weil da das neutrale Element (also die Einheitsmatrix selbst) wieder rauskommt.
Wie mache ich das denn genau bei der Assoziativität? Denke ich mir einfach eine weitere Matrix aus und schaue, ob E B= B E ?
Vielen Dank für deine Hilfe im Voraus!!!
> Weißt du, was eine Gruppe ist?
> Die entsprechenden Eigenschaften mußt du nun nachweisen.
> -G nichtleer und * innere Verknüpfung sind keine großen
> Geheimnisse.
> -Wenn man das hat, purzelt die Assoziativität ohne Mühe
> heraus, denn die gilt ja allgemein für
> Matrizenmultiplikation.
> -Ein neutrales Element wird Dir auch einfallen, zum Glück
> ist es auch wirklich in G.
> -Etwas nachdenken muß man übers inverse Element. Da ist
> Teil a) nützlich.
>
> Gruß v. Angela
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Hallo,
> Zu (a) Ich weiß leider gar nicht, wie meine
> "Hinweismatrix" aussieht.
Es ist die Summe gewisser Matrizen, wie angegeben: [mm] E_{n} [/mm] - A + [mm] A^{2} \pm...+ (-A)^{n-1}).
[/mm]
Was bedeutet genau [mm]A^{n}=0?
A^n bedeutet, daß man n-mal die Matrix A multiplizieren soll, und 0 bedeutet in diesem Zusammenhang die Nullmatrix.
E_{n}[/mm]
> ist ja die Einheitsmatrix... - wie aber sieht meine Matrix
> A aus?
Wie die Matrix genau aussieht, ist völlig schnuppe. Entscheidend ist, daß sie die Eigenschaft [mm] A^n=0 [/mm] hat.
Und was fange ich genau mit dem Hinweis in der
> Aufgabe an?
Mach, was ich Dir gesagt habe: [mm] (E_n+A)(E_{n} [/mm] - A + [mm] A^{2} \pm...+ (-A)^{n-1}))=...
[/mm]
Da mußt Du jetzt jeden mit jedem multiplizieren. Berücksichtige, daß [mm] A^xA^y=A^{x+y} [/mm] und natülich [mm] A^n=0. [/mm] Versuchs mal!
>
> zu (b)
> Wie sieht G denn genau aus? Stimmt das:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & 0 & ... & 0 & ... & 1 }[/mm]
Nein.
G ist doch keine Matrix, sondern eine Menge, deren Elemente gewisse Matrizen sind.
Und welche Matrizen drin sind, steht doch sogar in Worten in der Aufgabe (!): obere Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonalen.
Und? Wie sehen die aus.
Immerhin - Deine Matrix ist auch drin, Du solltest sie als Kandidatin fürs neutrale Element fest ins Auge fassen.
>
> Wobei G auch eine n x n - Matrix ist (also gleiche Anzehl
> von Zeilen und Spalten hat)
>
> Ich weiß, was eine Gruppe ist (Assoziativität, Existenz des
> Neutralen und Existenz des Inversen).
Und all das mußt Du nun für die menge der obenere Dreiecksmatrizen mit einsen auf der Hauptdiagonalen prüfen.
Das neutrale Element, könnte
> die Einheitsmatrix selbst sein, oder?
Ist sie.
> Wie mache ich das denn genau bei der Assoziativität? Denke
> ich mir einfach eine weitere Matrix aus und schaue, ob E B=
> B E ?
Als erstes würde ich mal nachschauen, was das Assoziativgesetz ist...
Dann nimmst du Dir die entsprechende Anzahl oberer Dreiecksmatrizen, und guckst, ob's stimmt.
Das ist aber der schwierigere Weg.
Die Alternative: Du machst es, wie ich in meiner ersten Antwort gesagt habe, zeigst, daß die Matrizenmultiplikation in G eine innere Verknüfung ist.
Da * in [mm] K^{nxn} [/mm] assoziativ ist, ist die Multiplikation in G auch assoziativ, daß wieder ein Element aus G herauskommt, ist ja bereits mitder Abgeschlossenheit gezeigt.
Ein Tip noch zum Inversen: wie gesagt, kannst du da Teil a) gut gebrauchen: Zerleg Dir Deine oberer Dreiecksmatrix mit einsen auf der Hauptdiagonalen in eine Einheitsmatrix + obere dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen.
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank für deine Hilfe im Voraus!!!
>
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> > Weißt du, was eine Gruppe ist?
> > Die entsprechenden Eigenschaften mußt du nun nachweisen.
> > -G nichtleer und * innere Verknüpfung sind keine großen
> > Geheimnisse.
> > -Wenn man das hat, purzelt die Assoziativität ohne Mühe
> > heraus, denn die gilt ja allgemein für
> > Matrizenmultiplikation.
> > -Ein neutrales Element wird Dir auch einfallen, zum
> Glück
> > ist es auch wirklich in G.
> > -Etwas nachdenken muß man übers inverse Element. Da ist
> > Teil a) nützlich.
> >
> > Gruß v. Angela
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