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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 05.11.2007 | | Autor: | H8U |
Zeigen Sie, dass H = [mm] \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix}
a & b \\ - \bar b & \bar a \end{pmatrix} ; a,b \in \IC \end{Bmatrix} [/mm]
mit Addition und Multiplikation von Matrizen kein Körper ist und die Gleichung [mm] X^2 [/mm] + 1 = 0 unendlich viele Lösungen in H hat.
Wie kann man das beweisen? Hab noch keinen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo H8U!
> Zeigen Sie, dass H = [mm]\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix}
a & b \\ - \bar b & \bar a \end{pmatrix} ; a,b \in \IC \end{Bmatrix}[/mm]
> mit Addition und Multiplikation von Matrizen kein Körper
> ist und die Gleichung [mm]X^2[/mm] + 1 = 0 unendlich viele Lösungen
> in H hat.
>
> Wie kann man das beweisen? Hab noch keinen Ansatz.
Du zeigst einfach, dass eines der Körperaxiome nicht gilt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> ... und die Gleichung [mm]X^2[/mm] + 1 = 0 unendlich viele Lösungen
> in H hat.
Hallo,
Es hilft vielleicht, sich das als [mm] X^2+1*X^0=0*X^0 [/mm] zu schreiben.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Ich hab noch eine Frage zu dieser Aufgabe!
Wie beziehe ich die Gleichung bei H ein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Fr 09.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
zu zeigen ist,das H kein körper ist,d.h. H darf muss nicht kommutativ sein
mein schritt war, dass ich H eingeteilt habe H1 und H2 und diese auf kommutativität mittels formel: ab=ba getestet habe. dabei kam ein widerspruch heraus,sodass ich folgern konnte,dass H nicht kommutativ sein kann und somit auch kein körper ist.
nur bei der 2.teilaufgabe hapert es ein wenig:
zu zeigen war,dass X²+1=0 unendl.viele lösungen hat.
zuerst hab ich x² ausgerechnet, dann anschließend diese lösung mit dem einselement addiert,da X²+1 =0 sein soll. dabei kam ich auch auf 0.
Dies waren meine ergebnisse:
1. [mm] aa+b(-\bar{b}) [/mm] =-1
2. [mm] ab+(b)\bar{a}+0=0 [/mm] --> [mm] ab+\bar{a}b=0
[/mm]
3. [mm] -\bar{b}a+\bar{a}(-\bar{b})+0=0 -->-a\bar{b}-\bar{a}\bar{b}=0
[/mm]
4. [mm] -\bar{b}(-\bar{b})+\bar{a}\bar{a} [/mm] =-1
So,nur wie fahre ich nun fort. kann ich diese ergebnisse noch in versch.fälle einteilen? Weiß leider nicht weiter. LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Fr 09.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst nun nur zeigen, dass es unendlich viele a,b giebt, die diese Gleichung erfüllen. am besten gibt man sie einfach an!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 09.11.2007 | | Autor: | quest |
hallo.
ich glaube deine (4) gleichung stimmt nicht, schau das noch mal nach, es sollte m.E. [mm] $\bar{a}^2 -b\bar{b} [/mm] = -1$ sein, oder?
Dann würde ich wie folgt vorgehen:
Vergleiche jetzt mal (1) und (4), also
[mm] $\bar{a}^2 -b\bar{b} [/mm] = -1$
und
[mm] $a^2 -b\bar{b} [/mm] = -1$
Dann bekommst du die Bedinung, dass $a = [mm] \bar{a}$ [/mm] ist. Und für welche $a [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] ist das erfüllt?
ähnlich vergleichst du (2) und (3).
Gruß
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> Dann würde ich wie folgt vorgehen:
>
> Vergleiche jetzt mal (1) und (4), also
>
> [mm]\bar{a}^2 -b\bar{b} = -1[/mm]
> und
> [mm]a^2 -b\bar{b} = -1[/mm]
>
> Dann bekommst du die Bedinung, dass [mm]a = \bar{a}[/mm] ist.
Hallo,
ich erhalte hier zunächst
[mm] a^2=\bar{a}^2, [/mm] und das ist nicht nur für [mm] a=\bar{a} [/mm] erfüllt.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Fr 09.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Frage bezieht sich auf [mm] X^2+1=0?
[/mm]
dabei sind mögliche Lösungen Elemente von H, haben also die vorgegebene Form.
eine Gleichung bezieht sich immer auf einen Körper in [mm] \IR [/mm] hat [mm] x^2+1 [/mm] keine Lösung.
in [mm] \IC [/mm] zwei Lösungen. usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 10.11.2007 | | Autor: | blueeyes |
Oh,dankeschön,hatte nen fehler bei (4). So ich hatte dann nun gleichung 1 mit gleichung 4 verglichen,kam dabei auch darauf,dass [mm] a=\bar{a} [/mm] und ich denke mal,dies gilt für alle [mm] a\in\IC, a,b\not=0, [/mm] wenn ich mich da irren sollte gebt mir bitte besheid. Habe dann gleichung 2 mit 3 verglichen und bin darauf gekommen, dass [mm] a=\bar{a} [/mm] und [mm] b=\bar{b} [/mm] ist. Dieses müsste dann auch wieder für alle [mm] a,b\in\IC [/mm] gelten, [mm] ab\not=0. [/mm] LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 10.11.2007 | | Autor: | quest |
hallo
ich glaube beim vergleich von (2) und (3) sollte eine andere Bedinung herauskommen.
Für welche a [mm] \in \mathbb{C} [/mm] ist denn: a = [mm] \bar{a} [/mm] ? Schreibe $a = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] i$. Wann ist $a = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] i = [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] i = [mm] \bar{a} [/mm] $ ?
Genau dann, wenn [mm] $\beta [/mm] = 0$, d.h. es gibt aber unendlich viele solche a, für die das gilt!
Das sind die komplexen Zahlen, die in der komplexen Ebene auf der reellen Achse liegen (das sind zwar reelle Zahlen, aber gleichzeitig auch Elemente aus [mm] \mathbb{C}).
[/mm]
Gruß
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Hallo!
Soweit so gut!
Ich habe jetzt dir 2. und 3. verglichen und komme darauf, dass 3b = [mm] -\bar{b}
[/mm]
und wenn ich dort die Komplexe Zahl einsetzt komme ich wenn
b= c + id auf
2c + id = 0 dazu müsste dann ja c und d gleich 0 sein!
Stimmt das so oder hab ich mich da vertan?
Grüße
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kann mir hier wirklich keiner helfen? :(
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kann da wirklich keiner mehr zu helfen?
ich weiß ich nerv euch aber das wäre super!
Gucke morgen bis 10Uhr dann nochmal sonst trotzdem danke für die Hilfe, die ich schon bekommen habe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 Mo 12.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
Soweit so gut!
Ich habe jetzt dir 2. und 3. verglichen und komme darauf, dass 3b = $ [mm] -\bar{b} [/mm] $
und wenn ich dort die Komplexe Zahl einsetzt komme ich wenn
b= c + id auf
2c + id = 0 dazu müsste dann ja c und d gleich 0 sein!
Stimmt das so oder hab ich mich da vertan?
Grüße und muss mich dann wohl entschuldigen für die ganzen Fragen...wollt aber mal meinem Namen gerecht werden! ;)
Wenn diese Zeit abgelaufen ist bin ich auch fertig mit der Aufgabe!
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> Soweit so gut!
> Ich habe jetzt dir 2. und 3. verglichen und komme darauf,
> dass 3b = [mm]-\bar{b}[/mm]
Hallo,
wie hast Du das denn gemacht, ich kann dem nicht folgen.
Was hast Du gerechnet?
Gruß v. Angela
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Also ich habe
[mm] ab+\bar{a}b=-a\bar{b}-\bar{a}\bar{b}
[/mm]
=> [mm] ab+ab=-a\bar{b}-ab
[/mm]
und jetzt beim aufschreiben erkenne ich meinen Fehler!
Dass muss am Schluß [mm] -a\bar{b} [/mm] heißen...
also kommt raus, dass [mm] b=-\bar{b}
[/mm]
also muss
c+id=-c+id
und daruas folgt, dass c=0 und d beliebig?
ich hoffe doch!
und bedanke mich nochmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 12.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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