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Habe bei der einer Aufgabe ein Problem.
Aufgabe lautet:
[mm] (A-X)(A+X)-A^2=(A-X)(A-X)-2X^2+3E
[/mm]
Gleichung soll nach x aufgelöst werden.
Das Ergebnis lautet:X=0,5(A+3A^-1) und ich habe keine Ahnung wie man darauf kommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, die Aufgabe lässt sich ganz einfach mit Ausmultiplizieren bewältigen:
Umsortieren liefert zunächst:
$(A-X)(A+X) - (A-X)(A-X) [mm] +2X^2 [/mm] = [mm] A^2 [/mm] +3E$.
Jetzt multiplizieren wir aus und erhalten:
[mm] $A^2 [/mm] +AX - XA - [mm] X^2 [/mm] - [mm] (A^2 [/mm] - AX - XA + [mm] X^2) +2X^2=A^2 [/mm] + 3E$,
nach Auflösen der Klammern also:
[mm] $A^2 [/mm] + AX - XA - [mm] X^2 [/mm] - [mm] A^2 [/mm] + AX + XA - [mm] X^2 [/mm] + [mm] 2X^2=A^2+3E$.
[/mm]
Zusammenfassen liefert (das meiste hebt sich links weg):
$2AX = [mm] A^2 [/mm] + 3E$,
also:
$AX = 0,5 [mm] \cdot (A^2 [/mm] + 3E)$.
Setzt man jetzt voraus, dass $A$ invertierbar ist, dann darf man beide Seiten der Gleichung von links mit [mm] $A^{-1}$ [/mm] multiplizieren und erhält:
$X = 0,5 [mm] \cdot (A^{-1}A^2 [/mm] + [mm] 3A^{-1}E) [/mm] = 0,5 [mm] \cdot [/mm] (A + [mm] 3A^{-1})$.
[/mm]
Alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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