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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mi 08.12.2010 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Zeige anhand spezieller Beispiele, dass für Matrizen die folgende Eigenschaft im allgemeinen NICHT gelten:
A*B=0 (A=0 oder B=0) |
Hallo,
die Aufgabe setzt mir auch noch ziemlich zu.
ich habe der Aussage gezogen das A oder B = 0 sein soll das ich da eine nullmatrix einsetze
und wenn ich
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = 0
gilt aber immer oder fasse ich die Aufgabe falsch auf.
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo RWBK,
> Zeige anhand spezieller Beispiele, dass für Matrizen die
> folgende Eigenschaft im allgemeinen NICHT gelten:
>
> A*B=0 (A=0 oder B=0)
> Hallo,
>
> die Aufgabe setzt mir auch noch ziemlich zu.
>
> ich habe der Aussage gezogen das A oder B = 0 sein soll
> das ich da eine nullmatrix einsetze
> und wenn ich
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] = 0
> gilt aber immer oder fasse ich die Aufgabe falsch auf.
Ja, wenn du mit der Nullmatrix multiplizierst, kommt die Nullmatrix raus, das stimmt.
Die Aufgabe ist anders gemeint:
In Körpern, etwa in [mm]\IR[/mm] folgt aus [mm]a\cdot{}b=0[/mm], dass [mm]a=0[/mm] oder [mm]b=0[/mm] sein muss
Du sollst untersuchen, ob das hier auch zwingend folgt, also ob aus der Tatsache, dass ein Matrixprodukt =0 (Nullmatrix) ergibt auch folgt, dass (mind.) eine der beiden beteiligten Matrizen schon die Nullmatrix sein muss ...
Das ist nicht so!
Suche mal 2 möglichst einfache Matrizen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], die beide nicht die Nullmatrix sind, deren Produkt aber die Nullmatrix ergibt.
Ganz einfache Bsp. suchen mit vielen Nullen als Einträge ...
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Zurück!
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Zu untenstehender Aufgabe habe ich eine Frage |
Hallo,
det(A)= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 3 }
[/mm]
da hat unserer Lehrer folgendes rausgemacht -det [mm] \pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 3}
[/mm]
Mein Frage ist, woher kommt das Minuszeichen vor der Determinante?? Wenn ich das richtig sehe hat er nach der dritten Spalte entwickelt. Woher das Minus kommt ist mir allerdings nicht kklar. Wäre super wenn mir das vllt jemand sagen könnte.
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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> Zu untenstehender Aufgabe habe ich eine Frage
> Hallo,
>
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> det(A)= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 4 & 7 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 3 }[/mm]
>
> da hat unserer Lehrer folgendes rausgemacht -det [mm]\pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 3}[/mm]
>
> Mein Frage ist, woher kommt das Minuszeichen vor der
> Determinante?? Wenn ich das richtig sehe hat er nach der
> dritten Spalte entwickelt.
Hallo,
ja, genau.
Bei der Laplaceentwicklung sind die Matrizen [mm] S_i_k, [/mm] die aus [mm] A=(a_i_k) [/mm] durch das Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte entstehen, neben dem Faktor [mm] a_i_k [/mm] noch mit [mm] (-1)^{i+k} [/mm] zu multiplizieren.
Welches Vorzeichen Du nehmen mußt, kannst Du Dir gut merken, wenn Du über die jeweilige Ausgangsmatrix für die Entwicklung ein Schachbrett legst:
[mm]\pmat{ + & - &+ & - & + \\
- &+ & \green{-}& + &-\\
+ & - &+ & - & + \\
- &+ & - & +&-\\
+ & - &+ & - & + }[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 19.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
danke erstmal für deine Hilfe,
jetzt habe ich aber nochmal eine weitere Frage wenn ich jetzt weiter etwickle z.B würde ich jetzt die zweite Spalte wählen da dort unterhalb schon Nullen sind. Was passiert dann mit meinem Vorzeichen muss ich dann sozusagen über -det [mm] \pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 3 } [/mm] wieder ein neues Schachbrett legen? also [mm] \pmat{ + & - & + & - \\ + & - & + & - \\ + & - & + & - \\ + & - & + & - } [/mm] oder muss ich dann mit Minus beginnen?? Ich danke euch erst mal .
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo RWBK,
> Hallo,
>
> danke erstmal für deine Hilfe,
> jetzt habe ich aber nochmal eine weitere Frage wenn ich
> jetzt weiter etwickle z.B würde ich jetzt die zweite
> Spalte wählen da dort unterhalb schon Nullen sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was passiert dann mit meinem Vorzeichen muss ich dann sozusagen
> über -det [mm]\pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 3 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 3 }[/mm]
> wieder ein neues Schachbrett legen? also [mm]\pmat{ + & - & + & - \\
+ & - & + & - \\
+ & - & + & - \\
+ & - & + & - }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> oder muss ich dann mit Minus beginnen?? Ich danke euch erst
> mal .
Neues Schachbrettmuster (beginnend mit + oben links) ist gut, obiges ist aber keines, es müssen sich + und - sowohl horizontal als auch vertikal abwechseln!
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 19.02.2011 | | Autor: | drAb |
Meiner Meinung nach stimmt dein Schachbrettmuster nicht. Dies sollte gleich aussehen wie vorhin. Einfach für eine (n-1)x(n-1) Matrix.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 19.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte von C = [mm] \pmat{ 5 & 2.1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2.9 & -1 } [/mm] |
Hallo ich wollte einmal wissen ob meine Vorgehensweise und mein Rechenweg richtig ist.
det [mm] (C-\lambda*E) [/mm] = { [mm] (5-\lambda) [/mm] & 2.1 & -1 [mm] \\ [/mm] 0 & [mm] (1-\lambda) [/mm] & 0 [mm] \\ [/mm] 1 & 2.9 & [mm] (-1-\lambda) [/mm] }
Jetzt habe ich Probleme die det. zu berechnen. Die Regel von Sarrus mag unser Lehrer nicht und würde auch ziemlich schwierig werden denke ich. Ich wollte die Determinante also entwickel und stehe vor einem schier unlösbaren Problem ^^. Ich kann irgendwie keine Nullen erzeugen. Kann mir jemand einen Tipp/ Helfen ??
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Sa 19.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Leider stellt er die Matriz nicht richtig da.
hmm Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 19.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Leider stellt er die Matriz nicht richtig da.
>
> hmm Sorry
Hab ich in der Antwort editiert. Bei dir ging das [mm] \backslash [/mm] pmat verloren 
Gruß
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> Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte von C = [mm]\pmat{ 5 & 2.1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2.9 & -1 }[/mm]
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> Hallo ich wollte einmal wissen ob meine Vorgehensweise und
> mein Rechenweg richtig ist.
>
> det [mm](C-\lambda*E)[/mm] = [mm] \pmat{(5-\lambda)& 2.1 & -1 \\ 0 & (1-\lambda) & 0\\ 1 & 2.9 & (-1-\lambda) }
[/mm]
>
> Jetzt habe ich Probleme die det. zu berechnen. Die Regel
> von Sarrus mag unser Lehrer nicht und würde auch ziemlich
> schwierig werden denke ich.
Die Regel von Sarrus ist meiner Ansicht nach hier das einfachste, zumal in der Matrix schon ein paar Nullen stehen. Klar, man muss am Ende immer ein bisschen zusammenfassen, aber eine Entwicklung ist wahrscheinlich noch komplizierter. Sehr eigenartig, dass dein Lehrer die nicht mag.
Ich zeigs dir mal:
[mm] $\det(C-\lambda E)=(5-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda)+0+0-0-0+(1-\lambda)=(1-\lambda)\left((5-\lambda)(-1-\lambda)+1\right)=(1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-4)$
[/mm]
> Ich wollte die Determinante also entwickel und stehe vor einem schier unlösbaren Problem ^^. Ich kann irgendwie keine Nullen erzeugen. Kann
> mir jemand einen Tipp/ Helfen ??
Wie schon gesagt, entwickeln ist hier eher umständlich
Gruß
P.S: Noch ein Hinweis: Berechne für Eigenwerte besser die Determinante von [mm] $\lambda [/mm] E-C$, damit die [mm] \lambda [/mm] von vornherein positiv sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mo 21.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Determinate Berechnen:
A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 7 & \wurzel{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \wurzel{3} \\ 2 & 0 & 0 & 3 & 3 & \wurzel{5} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6} [/mm] |
Hallo bei der Stecke ich ein bissl fest hier erst mal meine vorgehensweise:
Entwickelt nach der zweiten Zeile ( dritte Spalte) käme ich auf det [mm] \pmat{ 2 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \wurzel{3} \\ 2 & 0 & 3 & 3 & \wurzel{5} \\ 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6} [/mm] dann wieder nach der zweiten Zeile ( zweite Spalte) entwickelt komme ich auf -det [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & \wurzel{5} \\ 1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6}
[/mm]
Jetzt möchte ich nach der 4 Zeile ( 4 Spalte ) entwickeln und glaub da mache ich einen Fehler:
ich komme da auf 6*det [mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 }
[/mm]
Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Mit freundlicen Grüßen
RWBK
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Hallo,
warum willst du die Determinante entwickeln? Das ist eher unpraktisch. Die Matrix hat schon fast obere Dreiecksgestalt, da brauchst du nur ein paar Zeilen mit eins, zwei Umformungen zu bearbeiten.
Am Ende ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 21.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Stimmt daran hab ich gar nicht gedacht, wenn ich das so rechne komme ich auf das richtige Ergebnis nämlich -12. Würde mich trotzdem freuen wenn einer vielleicht meinen Fehler findet, ich finde ihn nämlich leider nicht.
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo RWBK,
> Stimmt daran hab ich gar nicht gedacht, wenn ich das so
> rechne komme ich auf das richtige Ergebnis nämlich -12.
> Würde mich trotzdem freuen wenn einer vielleicht meinen
> Fehler findet, ich finde ihn nämlich leider nicht.
Es steckt direkt am Anfang ein Fehler.
Wenn du nach der 3.Spalte entwickelst, muss vor die Det ein "-"
Denke an das Schachbrettmuster!
Oder gem. Laplace: [mm](-1)^{\overbrace{{3+2}}^{\text{Zeile+Spalte}}}\cdot{}\underbrace{1}_{=a_{32}}\cdot{}\operatorname{det}(\text{Streichmatrix})[/mm]
Die anderen Summanden fallen wegen der Nullen ja alle weg.
Die Streichmatrix ist richtig.
Weiter habe ich nicht kontrolliert.
Merze den VZF mal aus in deiner Rechnung ...
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mo 21.02.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
das ist mir jetzt aber nicht klar.Wenn ich dieses Schachbrett da drüber legen würde komme ich doch auf folgendes:
[mm] \pmat{ + & - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + & - } [/mm] und dann wäre meine 1 mit einem Puls als Vorzeichen versehen oder etwa nicht??
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> das ist mir jetzt aber nicht klar.Wenn ich dieses
> Schachbrett da drüber legen würde komme ich doch auf
> folgendes:
>
> [mm]\pmat{ + & - & + & - & + & - \\
+ & - & + & - & + & - \\
- & + & - & + & - & + \\
- & + & - & + & - & + \\
- & + & - & + & - & + \\
+ & - & + & - & + & - }[/mm]
Das ist aber kein genormtes Schachbrettmuster.
Auf einem Schachbrett sind horizontal und vertikal angrenzende Felder von verschiedener Farbe.
Zumindest bei den Brettern, die wir in der Liga verwenden.
Auch Carlson, Anand, Kramnik und Konsorten verwenden diese Bretter 
Also
+-+-+
-+-+-
+-+-+
-+-+-
+-+-+
usw.
> und dann wäre meine 1 mit einem Puls als Vorzeichen
> versehen oder etwa nicht??
Nein! Bist du bei einem Eintrag [mm] $a_{ij}$, [/mm] so ist der Vorfaktor [mm] $(-1)^{i+j}$ [/mm] und das ist bei dir ein ungerader Exponent, denn du bist bei [mm] $a_{23}$, [/mm] also gibts ein "-"
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mo 21.02.2011 | | Autor: | RWBK |
DANKE jetzt macht das auch Sinn, vielen herzlichen Dank
Mit freundlichen Grüßen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 24.02.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie einen normierten Eigenverkot der Matrix B = [mm] \pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 } [/mm] |
Hallo ich wollte einmal wissen ob meine Rechnung/ Schreibweise richtig ist.
det ( [mm] B-\lambda*E) [/mm] = [mm] \pmat{ 1-\lambda & 7 & 2 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 3 & 1-\lambda } [/mm] = [mm] (1-\lambda) [/mm] * [mm] ((1-\lambda)*(1-\lambda))
[/mm]
= [mm] (1-\lambda)*(\lambda^{2}-2\lambda+1)
[/mm]
Daraus folgt dann [mm] \lambda \varepsilon [/mm] (1)
Mfg RWBK
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie einen normierten Eigenverkot der Matrix B =
> [mm]\pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 }[/mm]
> Hallo ich
> wollte einmal wissen ob meine Rechnung/ Schreibweise
> richtig ist.
>
>
> det ( [mm]B-\lambda*E)[/mm] = [mm]\pmat{ 1-\lambda & 7 & 2 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 3 & 1-\lambda }[/mm]
> = [mm](1-\lambda)[/mm] * [mm]((1-\lambda)*(1-\lambda))[/mm]
> = [mm](1-\lambda)*(\lambda^{2}-2\lambda+1)[/mm]
>
> Daraus folgt dann [mm]\lambda \varepsilon[/mm] (1)
Was meinst Du damit ??? merkwürdige Schreibweise .....
Wenn Du damit meinst:
[mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von B [mm] \gdw \lambda=1,
[/mm]
so liegst Du richtig.
Manchmal bezeichnet man die Menge der Eigenwerte einer Matrix A auch mit [mm] \sigma(A). [/mm] Damit lautet Dein Ergebnis:
[mm] $\sigma(B)= \{1\}$
[/mm]
FRED
>
> Mfg RWBK
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