Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Gegeben sist die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }
[/mm]
a) Bestimmen sie [mm] A^2 [/mm] und [mm] A^3
[/mm]
b) Geben sie eine Formel für [mm] A^n [/mm] an. Beweisen sie die Gültigkeit Ihrer Formel mit vollständiger Induktion.
c) Setzten sie n = -1 in ihre Formel ein unr rechnen sie nach, dass A^(-1) [mm] \* [/mm] A = A [mm] \* [/mm] A^(-1) = [mm] E_2 [/mm] gilt. Was ergibt ihre Formel für n = 0? |
Hallöchen,
Hab mir die Aufgabe mal ausgesucht um Matrizen multiplikation zu üben.
Bei der A hab ich mir überlegt, dass ich im Grunde die Matrix mit sich selber multiplizieren muss also
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 } \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 9 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Ist das schonmal richtig?
Gruß Phil
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 14.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sist die Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> a) Bestimmen sie [mm]A^2[/mm] und [mm]A^3[/mm]
> b) Geben sie eine Formel für [mm]A^n[/mm] an. Beweisen sie die
> Gültigkeit Ihrer Formel mit vollständiger Induktion.
> c) Setzten sie n = -1 in ihre Formel ein unr rechnen sie
> nach, dass A^(-1) [mm]\*[/mm] A = A [mm]\*[/mm] A^(-1) = [mm]E_2[/mm] gilt. Was ergibt
> ihre Formel für n = 0?
> Hallöchen,
>
> Hab mir die Aufgabe mal ausgesucht um Matrizen
> multiplikation zu üben.
>
> Bei der A hab ich mir überlegt, dass ich im Grunde die
> Matrix mit sich selber multiplizieren muss also
>
> [mm]A^2[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 } \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 9 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
> Ist das schonmal richtig?
Ja
FRED
>
> Gruß Phil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Philphil |
so bei der b hab ich so angefangen, ich habe die Matrix verallgemeinert:
A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] dann die quadriert und dann nochmal mit der multipliziert sodass ich [mm] A^2 [/mm] und [mm] A^3 [/mm] habe. Dann habe ich alles was mit c multipliziert rausgestrichen weil c = 0 ist. überall wo was mit a multipliziert wird hab ich das rausgestrichen weil a = 1 rausstreichbar ist damit komm ich zu dieser matrix:
A = [mm] \pmat{ a^n & \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i \\ 0 & d^n }
[/mm]
bzw. A = [mm] \pmat{ 1 & b * \summe_{i=0}^{n-1} d^i \\ 0 & d^n }
[/mm]
Ist das okay?
Gruß Phil
|
|
|
| |
|
Hallo Philphil,
> so bei der b hab ich so angefangen, ich habe die Matrix
> verallgemeinert:
>
> A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] dann die quadriert und dann
> nochmal mit der multipliziert sodass ich [mm]A^2[/mm] und [mm]A^3[/mm] habe.
> Dann habe ich alles was mit c multipliziert rausgestrichen
> weil c = 0 ist. überall wo was mit a multipliziert wird
> hab ich das rausgestrichen weil a = 1 rausstreichbar ist
> damit komm ich zu dieser matrix:
>
> A = [mm]\pmat{ a^n & \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i \\ 0 & d^n }[/mm]
>
> bzw. A = [mm]\pmat{ 1 & b * \summe_{i=0}^{n-1} d^i \\ 0 & d^n }[/mm]
>
> Ist das okay?
>
Ja,. das ist ok.
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Sa 14.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
mit der Formel für die geometrischen Reihe ergibt sich
[mm] A^n=\pmat{ 1 & 3*(2^n-1) \\ 0 & 2^n }
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
Danke für die Lösung meines Problems :)
Gruß Phil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Und die Induktion zu der Formel meiner 1.Frage lautet dann so:
[mm] \pmat{ 1 & \summe_{i=0}^{(n+1)-1} b*d^i \\ 0 & d^(n+1) } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i \\ 0 & d^n } \pmat{ 1 & b \\ 0 & d }
[/mm]
Das links von dem = Zeichen rechne ich aus und kriege dann
[mm] \pmat{ 1 & b + d * \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i \\ 0 & d^(n+1) }
[/mm]
Dann muss ich nur noch beweisen, dass [mm] \summe_{i=0}^{(n+1)-1} b*d^i [/mm] = b + d * [mm] \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i [/mm] = b + b [mm] \summe_{i=0}^{n} d^i
[/mm]
aber da steht jetzt noch n b auf die Sume addiert :( Hab ich einen Fehler gemacht oder stimmt meine Formel einfach nicht?
Gruß Phil
|
|
|
| |
|
Hallo Philphil,
> Und die Induktion zu der Formel meiner 1.Frage lautet dann
> so:
>
> [mm]\pmat{ 1 & \summe_{i=0}^{(n+1)-1} b*d^i \\ 0 & d^(n+1) }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i \\ 0 & d^n } \pmat{ 1 & b \\ 0 & d }[/mm]
>
> Das links von dem = Zeichen rechne ich aus und kriege dann
>
> [mm]\pmat{ 1 & b + d * \summe_{i=0}^{n-1} b*d^i \\ 0 & d^(n+1) }[/mm]
>
> Dann muss ich nur noch beweisen, dass
> [mm]\summe_{i=0}^{(n+1)-1} b*d^i[/mm] = b + d * [mm]\summe_{i=0}^{n-1} b*d^i[/mm]
> = b + b [mm]\summe_{i=0}^{n} d^i[/mm]
>
> aber da steht jetzt noch n b auf die Sume addiert :( Hab
> ich einen Fehler gemacht oder stimmt meine Formel einfach
> nicht?
>
Einen Fehler hast Du nicht gemacht
und die Formel ist auch richtig.
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Philphil |
[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }\pmat{ 1 & 9 \\ 0 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 21 \\ 0 & 8 }
[/mm]
:)
|
|
|
| |
|
Hallo PhilPhil,
man könnte auch so vorgehen: weniger allgemein, d.h. auf der Hauptrdiagonelen mit 1 und 2 rechnen. Dann ist sicherlich für die Matrix [mm] A^n
[/mm]
[mm] a_{11}=1 [/mm] und
[mm] a_{22}=2^n
[/mm]
Für das Element [mm] a_{12} [/mm] schlage ich einen rekursiven Ansatz vor:
[mm] a_{12}_{n}=a_{12}_{n-1}+3*2^n
[/mm]
Der Beweis dafür ist m.A. trivial, da er direkt aus der Matrizenmultiplikation folgt. Versuche jetzt, ob du das noch explizit ausgedrückt bekommst.
EDIT: das hast du natürlich oben bereits getan, ich hatte es nur nicht gleich richtig nachvollziehen können.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
> [mm]a_{12}_{n}=a_{12}_{n-1}+3*2^n[/mm]
Hab versucht deinen Tipp anzuwenden, aber muss es nicht [mm] a_{12}_{n}=a_{12}_{n-1}+3*2^{n-1} [/mm] lauten?
Für a = 1 kommt bei deiner Version doch 6 raus, aber es sollte doch nur 3 raus kommen, oder irre ich mich da?
EDIT: Davon abgesehen kommt weder bei deiner Version noch bei meiner eine richtige Lösung für n = -1 raus :/
Gruß Phil
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > [mm]a_{12}_{n}=a_{12}_{n-1}+3*2^n[/mm]
>
> Hab versucht deinen Tipp anzuwenden, aber muss es nicht
> [mm]a_{12}_{n}=a_{12}_{n-1}+3*2^{n-1}[/mm] lauten?
Hallo,
ja, da hat sich ein kl. Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen.
>
> Für a = 1 kommt bei deiner Version doch 6 raus, aber es
> sollte doch nur 3 raus kommen, oder irre ich mich da?
>
> EDIT: Davon abgesehen kommt weder bei deiner Version noch
> bei meiner eine richtige Lösung für n = -1 raus :/
Nun, bis jetzt liegt ja auch erst eine Rekursionsformel für [mm] A^n [/mm] vor:
[mm] a_{11}^{(1)}=1, a_{22}^{(1)}=2, a_{12}^{(1)}=3 [/mm] und [mm] A^n=\pmat{1&a_{12}^{(n-1)}+3*2^{n-1}\\ 0&2^n}.
[/mm]
Einfach n=-1 einzusetzen kann ja schon deshalb nicht klappen, weil wir die Matrix [mm] A^{-2} [/mm] und somit das Element [mm] a_{12}^{(-2)} [/mm] nicht kennen.
Diophants Vorschlag war ja auch, daß Du, nachdem Du die rekursive Darstellung von [mm] a_{12}^{(n)} [/mm] hast, versuchen sollst, die explizite Darstellung zu finden.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
hallo,
Mit meiner nicht rekursiven Darstellung gings aber auch nicht.
Habs jetzt mal so gemacht wie du gesagt hast und [mm] A^{-1} [/mm] explizit ausgerechnet und komme auf:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & - \bruch{3}{2} \\ 0 & \bruch{1}{2}}
[/mm]
Also stimmen Alle Zahlen außer [mm] a_{1,2} [/mm] mit der tatsächlichen [mm] A^{-1} [/mm] überein.
Seh ich das richtig, dass ich eine neue Formel finden muss? weil in der Aufgabe c) steht ja, dass [mm] A^{-1} [/mm] * A = [mm] E_{2} [/mm] und das muss man mit der Formel überprüfen...
Gruß Phil
|
|
|
| |
|
> hallo,
>
> Mit meiner nicht rekursiven Darstellung gings aber auch
> nicht.
>
> Habs jetzt mal so gemacht wie du gesagt hast und [mm]A^{-1}[/mm]
> explizit ausgerechnet und komme auf:
Hallo,
ich hab' nicht gesagt, daß Du [mm] A^{-1} [/mm] explizit ausrechnen sollst (wobei es nicht übel ist, diese Matrix einfach mal zu Kontrollzecken zu berechnen), sondern daß Du nun nicht eine rekursive, sondern eine explizite Darstellung für das Element [mm] a_{12}^{(n)} [/mm] finden sollst.
Ich hab' den Thread inzwischen mal überflogen.
Ullim hatte Dir doch gesagt, wie Du von Deiner Summendarstellung (in welche sich ja auch nicht n=-1 einsetzen läßt) zu einem schönen Ausdruck kommst.
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{1 & - \bruch{3}{2} \\
0 & \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Also stimmen Alle Zahlen außer [mm]a_{1,2}[/mm] mit der
> tatsächlichen [mm]A^{-1}[/mm] überein.
???
Ich weiß jetzt überhaupt nicht, wie die von Dir mit Deiner Formel ausgerechnete Matrix lautet und was Du gerechnet hast.
Von daher kann man kaum etwas konkretes sagen.
Die Matrix, die Du hier jedenfalls stehen hast, ist die korrekte Inverse zu A.
LG Angela
>
> Seh ich das richtig, dass ich eine neue Formel finden muss?
> weil in der Aufgabe c) steht ja, dass [mm]A^{-1}[/mm] * A = [mm]E_{2}[/mm]
> und das muss man mit der Formel überprüfen...
>
> Gruß Phil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
Tut mir leid, der Kommentar bzw. die Antwort wurde bei mir nicht als Neu angezeigt drum habe ich den völlig übersehen.
Mit seiner Gleichung geht alles Auf und die Aufgabe ist abgehakt...
Danke an alle für ihre Hilfe,
Gruß Phil
|
|
|
|
